题目背景

题面、样例附件来自 QOJ。

提交到洛谷上时，无需引用头文件 #include "pudding.h"。直接将

void init(int c, int t);
int find_tastiness(int c, int m);
int query_tastiness(std::vector<int> a);

复制到程序开头，同时选用 C++17 或者更高版本编译器编译。

本题为交互题。

题目描述

小 L 和小 S 都非常喜欢香甜而软糯的布丁。在品尝过各种布丁后，她们将所有布丁的美味度量化为不超过 $4500$ 的正整数。

小 L 正在学习制作布丁。因熟练程度有限，她只能制作出美味度不超过常数 $m$ 的布丁。在某次尝试中，小 L 成功制作出了一块美味度为 $w$ 的布丁。小 S 想品尝小 L 制作的布丁，但需要按照小 L 要求的方式求出她制作的布丁的美味度。

具体地，小 S 可以从商店购买若干块布丁并交给小 L。小 L 会把自己制作的布丁混入其中，并将这些布丁按照美味度升序排序。然后，小 L 会计算全部相邻布丁美味度的最大公约数之和并告诉小 S。最后，她会将所有小 S 买来的布丁吃掉。

形式化地，设小 S 购买了 $k$ 块布丁，美味度分别为 $a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}$。将 $[a_0,a_1,\ldots,a_{k-1},w]$ 按升序排序后的结果记为 $[b_0,b_1,\ldots,b_{k-1},b_k]$，则小 L 会将 $\sum_{i=1}^{k}\gcd(b_{i-1},b_i)$ 的值告诉小 S。

由于前往商店的时间成本与购买布丁的经济成本都很高，小 S 希望尽可能减少购买的次数以及购买的布丁总数。你需要帮助小 S 制定购买策略，以求出小 L 制作的布丁的美味度。

【实现细节】

选手不需要，也不应实现 main 函数。

选手需要确保提交的程序包含头文件 pudding.h，即在程序开头加入以下代码：

#include "pudding.h"

选手需要在提交的程序源文件 pudding.cpp 中实现以下两个函数：

void init(int c, int t);

• $c,t$ 分别表示测试点编号与测试数据组数。$c=0$ 表示该测试点为样例。
• 对于每个测试点，该函数会在程序开始运行时被交互库调用恰好一次。

int find_tastiness(int c, int m);

• $c,m$ 分别表示测试点编号与小 L 制作的布丁的美味度上界。
• 该函数需要返回一个正整数 $w$，表示小 L 制作的布丁的美味度。
• 对于每个测试点，该函数会被交互库调用恰好 $t$ 次。

选手可以通过调用以下函数进行一次询问：

int query_tastiness(std::vector<int> a);

• $a$ 表示小 S 购买的布丁的美味度序列。选手需要确保 $a$ 非空，且其中的每个元素均为不超过 $4500$ 的正整数。
• 该函数会返回小 L 告诉小 S 的值，具体含义如【题目描述】中所示。
• 选手需要确保交互库每次调用 find_tastiness 时，调用该函数的次数不超过 $15$，且调用该函数时传入的 $a$ 的长度之和不超过 $3000$。

在任何情况下，交互库运行所需时间均不会超过 $1.5$ 秒，所用内存不会超过 $64\ \mathrm{MiB}$。

本试题目录下的 template_pudding.cpp 是提供的示例代码，选手可参考并实现自己的代码。

输入格式

【测试程序方式】

选手可以在本题目录下使用如下命令编译得到可执行文件：

g++ grader.cpp pudding.cpp -o pudding -O2 -std=c++14 -static

对于编译得到的可执行文件 pudding：

• 可执行文件将从标准输入读入以下格式的数据：
  • 第一行包含三个非负整数 $c,t,m$。
  • 第二行包含 $t$ 个正整数，分别表示每组测试数据中 $w$ 的值。
• 可执行文件将输出以下格式的数据至标准输出：
  • 若 $t$ 次调用 find_tastiness 的返回值均正确，则：
    • 输出的第一行为 Correct!。
    • 输出的第二行为 Max queries used: Q，其中 $Q$ 表示所有测试数据中调用 query_tastiness 的次数的最大值。
    • 输出的第三行为 Max total puddings queried: S，其中 $S$ 表示所有测试数据中调用 query_tastiness 时传入的 $a$ 的长度之和的最大值。
  • 若至少一次调用 find_tastiness 的返回值不正确，则只会输出一行 Wrong answer.。
• 若调用 query_tastiness 时传入的参数不符合要求，或调用次数超过上限，则可执行文件会向 标准错误流 输出错误信息，并返回 $-1$。
• 选手可以在运行可执行文件时启用 -v 或 --verbose 参数，此时可执行文件将会额外输出以下内容：
  • 每次调用 find_tastiness 的返回值、正确性、调用 query_tastiness 的次数与传入的 $a$ 的长度之和。
  • 每次调用 query_tastiness 时传入的参数、计算过程以及返回值。
  • 程序最终获得的分数比例，具体可见【评分方式】一节。

0 2 197
26 121

Correct!
Max queries used: 2
Max total puddings queried: 5

提示

【样例 $1$ 解释】

对于第一组测试数据，小 L 制作的布丁的美味度为 $26$。以下是一种可能的交互过程：

• 调用 query_tastiness（$[2026,7,20]$），则 $b=[7,20,26,2026]$，因此函数返回 $\gcd(7,20)+\gcd(20,26)+\gcd(26,2026)=1+2+2=5$。
• 调用 query_tastiness（$[13,52]$），则 $b=[13,26,52]$，因此函数返回 $\gcd(13,26)+\gcd(26,52)=13+26=39$。
• 返回 $26$，答案正确。
• 调用 query_tastiness 的次数为 $2$，调用 query_tastiness 时传入的 $a$ 的长度之和为 $3+2=5$。

【样例 $2$】

见选手目录下的 pudding/pudding2.in 与 pudding/pudding2.ans。

该样例满足测试点 $1$ 的约束条件。

【样例 $3$】

见选手目录下的 pudding/pudding3.in 与 pudding/pudding3.ans。

该样例满足测试点 $2$ 的约束条件。

【样例 $4$】

见选手目录下的 pudding/pudding4.in 与 pudding/pudding4.ans。

该样例满足测试点 $3$ 的约束条件。

【数据范围】

对于所有测试数据，均有：

• $1\le t\le3000$；
• $1\le m\le3000$，$1\le w\le m$。

::cute-table{tuack} | 测试点编号 | 分值 | $t=$ | $m=$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | $1$ | $10$ | $35$ | $35$ | 无 | | $2$ | $20$ | $430$ | $3000$ | $A$ | | $3$ | $70$ | $3000$ | $3000$ | 无 |

特殊性质 $A$：$w$ 为质数。

【评分方式】

注意：

• 选手不应当通过非法方式获取交互库的内部信息，如试图直接读取 $w$ 的值，或直接与标准输入、输出流进行交互。此类行为将被视为作弊。
• 交互库不是适应性的，即每次调用 find_tastiness 时，$w$ 的值就已经确定，不会随交互过程变化。
• 最终的评测交互库与样例交互库的实现不同。 若 find_tastiness 函数的返回值不正确，或调用 query_tastiness 时传入的参数不符合要求，则相应测试点得 $0$ 分。 在上述条件基础上：
• 对于每个测试点，设 $Q$ 表示所有测试数据中调用 query_tastiness 的次数的最大值，$S$ 表示所有测试数据中调用 query_tastiness 时传入的 $a$ 的长度之和的最大值，$\mathrm{score}$ 表示该测试点的分值，则程序获得 $\left\lfloor f(Q)\cdot g(S)\cdot\mathrm{score}\right\rfloor$ 分，其中 $f$ 与 $g$ 的计算方式如下。

::cute-table{tuack} | $Q$ | $f(Q)$ | |:-:|:-:| | $Q\le4$ | $1$ | | $5\le Q\le15$ | $0.7^{Q-4}$ |

::cute-table{tuack} | $S$ | $g(S)$ | |:-:|:-:| | $S\le35$ | $1$ | | $36\le S\le75$ | $1-\dfrac{S-35}{100}$ | | $76\le S\le235$ | $0.2+\sqrt{\dfrac{235-S}{1000}}$ | | $236\le S\le3000$ | $0.2\times2^{-\frac{S-235}{1500}}$ |