$\sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$推导过程：$

$设\sin18^\circ=x$

$x=\cos72^\circ$

$x=2\cos^236^\circ-1$

$x=2(1-2\sin^218^\circ)^2-1$

$整理得$

$8x^4-8x^2-x+1=0$

$再因式分解一下$

$(4x^2+2x-1)(2x+1)(x-1)=0$

解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{\sqrt{5}+1}{4},x_3=-\frac{1}{2},x_4=1$

可以发现，$x_2>x_4>\sin30^\circ，x_3<\sin0^\circ$

$因为sinx在(-90°,90°)上单调递增，因此\sin18^\circ=x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$同时得\sin72^\circ=\sqrt{1-sin^218^\circ}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

$∵\sin72^\circ=2\sin36^\circ\cos36^\circ=4\sin18^\circ\cos18^\circ\cos36^\circ=4\sin18^\circ\sin72^\circ\sin54^\circ$

$∴\frac{1}{4}=\sin18^\circ\sin54^\circ$

$又∵\sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$∴\sin54^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$同时得\sin36^\circ=\sqrt{1-sin^254^\circ}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$