随机生成的自然感追求——柏林噪声的算法原理与复现可视化

作者 钟海岳（CG20280541）、李华（CG20280542）
王磊（CG20280492）

单位 高一（9）班

摘要

本研究以“柏林噪声（Perlin Noise）”为核心，探讨其在计算机图形学中自然纹理模拟的原理与实现。研究从噪声的基本概念切入，区分纯随机噪声与伪随机噪声的本质差异，指出白噪声空间不连续性的核心缺陷，引出柏林噪声“梯度向量+平滑插值”的解决方案。通过解析晶格系统、梯度生成、平滑插值等数学原理，阐述一维至二维柏林噪声的扩展逻辑，以及分形布朗运动（FBM）的优化机制。基于Python完成算法实现，生成噪声图与高度图，结合Blender实现三维地形可视化。结果表明，柏林噪声通过伪随机性与连续性的平衡，可有效模拟云层、山脉等自然纹理，是程序化内容生成的关键技术，为游戏、影视等领域提供高效的自然感模拟方案。

关键词
柏林噪声；分形布朗运动；晶格系统；程序化生成；地形模拟；计算机图形学

一、噪声概述

1.1 什么是“噪声”

信号处理中，噪声是叠加于有用信号、不携带有效信息且干扰信号检测、传输与处理的随机干扰，如同听人说话时的环境杂音、拍照片时的画面雪花点。在计算机图形学中，噪声被重新定义为一种可控的伪随机函数，核心作用是为输入空间的每个点赋予平滑变化的“随机值”，用于生成具有自然感的纹理、地形和动画效果，区别于信号处理中单纯的“干扰”。

1.2 计算机图形学的困境：白噪声的局限性

两类噪声的核心差异决定了白噪声在自然感模拟中的不适用性：

• 纯随机噪声（白噪声）：完全不可预测、无内在规律，每一个取值都与之前的状态无关，无法提前复制。其最关键缺陷是空间不连续性，相邻点数值毫无关联，数据跳变突兀，视觉上呈现尖锐、杂乱的“雪花屏”效果，与自然界纹理的平滑过渡特性完全矛盾。
• 伪随机噪声：看似杂乱无章，实则由固定数学算法（如哈希函数、线性反馈移位寄存器）生成，具备可预测性和可复现性。其统计特性（均值、方差、功率谱）与纯随机噪声接近，肉眼难以区分，且核心优势是具备空间连续性，能模拟自然纹理的渐变效果。

【图片插入点1：噪声纹理对比图】

图1 噪声纹理对比（从左至右：白噪声纹理（无序、尖锐、跳变）、柏林噪声纹理（连续、柔和、渐变）、自然大理石纹理（细节丰富、自然流畅））

1.3 柏林噪声的诞生

柏林噪声由美国计算机科学家肯·柏林（Ken Perlin，约1957年出生）于1983年发明，其诞生源于具体的行业需求：1982年电影《电子世界争霸战》需要生成自然逼真的计算机纹理，但当时的纯随机噪声效果生硬，无法满足视觉需求。为解决这一问题，Ken Perlin开发了柏林噪声算法，核心思路是“网格梯度向量+平滑插值”，通过组合伪随机性与空间连续性，生成连续、自然的伪随机信号，并于1985年在论文《An Image Synthesizer》中正式公开该技术。

Ken Perlin因该技术推动计算机图形学、动画与交互技术的发展，荣获奥斯卡技术成就奖等诸多荣誉。柏林噪声也成为程序化纹理生成技术的基石，广泛应用于影视特效、游戏开发、可视化设计等领域。

二、算法核心数学原理

2.0 关键定义

在深入算法细节前，需明确两个核心概念：

• 哈希函数（Hash Function）：又称散列函数、杂凑函数，是一种将输入数据映射为固定输出数据的函数，常用于数据加密与伪随机数生成。柏林噪声对哈希函数的要求为：仅接受整数输入；相邻输入数据映射为近似结果（以保证空间连续性）；输出结果无明显规律（以保证伪随机性）。
• 噪声值：噪声函数对任意输入坐标的输出结果，是一个连续的标量值，核心作用是为输入空间的每个点赋予平滑变化的“随机值”，用于模拟自然纹理、地形起伏、流体扰动等效果。

2.1 晶格系统（Lattice）

算法的第一步是将空间划分为均匀网格，网格中的每个顶点称为“晶格点”。以二维空间为例，任意输入点(x, y)必然位于四个相邻晶格点构成的单位方格内，这四个晶格点的坐标可精确表示为(⌊x⌋, ⌊y⌋)、(⌊x⌋+1, ⌊y⌋)、(⌊x⌋, ⌊y⌋+1)、(⌊x⌋+1, ⌊y⌋+1)（其中⌊·⌋表示向下取整）。

晶格系统的核心作用是为噪声值的计算提供“锚点”——通过相邻四个晶格点的已知信息，插值得到输入点的噪声值，确保计算的有序性与准确性。

【图片插入点2：二维晶格系统示意图】

图2 二维晶格系统与输入点位置关系（标注四个晶格点A(⌊x⌋, ⌊y⌋)、B(⌊x⌋, ⌈y⌉)、C(⌈x⌉, ⌈y⌉)、D(⌈x⌉, ⌊y⌋)，输入点P(x, y)及偏移量xf = x - ⌊x⌋、yf = y - ⌊y⌋）

2.2 梯度向量（Gradients）

每个晶格点会关联一个随机单位向量（即梯度向量），这些向量通过哈希函数伪随机生成，确保分布的均匀性与伪随机性，避免出现方向偏置。

柏林噪声常用的二维梯度向量包括8个方向，覆盖坐标轴与对角线方向，确保空间各向同性，具体为：[1,0]、[0,1]、[-1,0]、[0,-1]、[0.707,0.707]、[-0.707,0.707]、[0.707,-0.707]、[-0.707,-0.707]。

梯度向量的核心作用是描述晶格点对周围空间的“影响方向”：通过计算输入点与晶格点的距离向量和梯度向量的点积，可得到该晶格点对输入点噪声值的贡献度——点积结果的正负与大小，直接反映晶格点对输入点噪声值的影响方向与强度。

【图片插入点3：梯度向量与距离向量点积示意图】

图3 梯度向量与距离向量点积逻辑（基于二维晶格系统，标注晶格点A的梯度向量、输入点P到A的距离向量A→P，及点积计算公式Va = 梯度向量(A) · 向量(A→P)）

2.3 插值函数（Interpolation）

插值的核心目的是根据四个晶格点的贡献度，计算输入点的最终噪声值。直接使用线性插值（Lerp）会导致纹理出现生硬拐点，因此Ken Perlin提出了平滑过渡函数（Fade函数），其数学公式为：f(t) = 6t⁵ - 15t⁴ + 10t³。

该函数的核心优势是在t=0和t=1处的一阶、二阶导数均为零，能实现完全平滑的过渡，彻底消除插值带来的突兀感。不同插值方法的特性对比如下：

• 线性插值：公式为Lerp(a, b, t) = a + t·(b - a)，计算量最小，但一阶导数不连续，视觉上有硬边、锯齿；
• 余弦插值：公式为a + (b - a)·(1 - cos(tπ))/2，比线性插值平滑，但两端斜率不为零，边界仍有轻微不自然感；
• 五次多项式插值（Fade函数）：平滑度最高，一阶、二阶导数均连续，是自然噪声模拟的最佳选择。

平滑插值的最终公式为：SmoothLerp(a, b, t) = a + f(t)·(b - a)。

【图片插入点4：插值函数对比曲线图】

图4 插值函数对比（横坐标t∈[0,1]，纵坐标为插值结果；曲线1：线性插值（导数不连续）；曲线2：余弦插值（边界斜率非零）；曲线3：Fade函数（t=0、t=1处导数为零，平滑性最优））

2.4 一维柏林噪声原理

一维柏林噪声是理解算法逻辑的基础，核心思路与流程如下：

1. 晶格划分：在数轴上，每一个整数点作为晶格顶点，将数轴划分为无数个以整数点为边界的晶格，输入点x位于[⌊x⌋, ⌈x⌉]构成的晶格内；
2. 梯度分配：通过哈希函数为两个晶格顶点赋予预定义固定方向集合（{1, -1}）中的随机向量，保证伪随机性；
3. 偏移量计算：计算输入点x相对于左侧晶格顶点的偏移量xf = x - ⌊x⌋；
4. 贡献度计算：左侧晶格点的噪声值V1 = 梯度向量 × xf，右侧晶格点的噪声值V2 = 梯度向量 × (1 - xf)；
5. 平滑插值：通过Vx = SmoothLerp(V1, V2, f(xf))得到输入点的最终噪声值，实现无缝平滑过渡。

2.5 二维柏林噪声原理（核心）

二维柏林噪声是一维逻辑的扩展，核心步骤如下：

1. 确定晶格点与偏移量：输入点(x, y)对应四个相邻晶格点A、B、C、D，计算偏移量xf = x - ⌊x⌋、yf = y - ⌊y⌋；
2. 贡献度计算：分别计算四个晶格点的噪声值，即n00 = 梯度向量(A) · 向量(A→P)、n01 = 梯度向量(B) · 向量(B→P)、n10 = 梯度向量(D) · 向量(D→P)、n11 = 梯度向量(C) · 向量(C→P)；
3. 平滑系数计算：通过Fade函数处理偏移量，得到平滑系数u = f(xf)、v = f(yf)；
4. 双线性平滑插值：先沿x轴插值，得到nx0 = SmoothLerp(n00, n10, u)、nx1 = SmoothLerp(n01, n11, u)；再沿y轴插值，得到最终噪声值final_noise = SmoothLerp(nx0, nx1, v)。

补充说明：与柏林噪声类似的Value噪声，直接通过哈希函数获取晶格顶点的噪声值再进行插值，计算开销较低，适用于实时简单场景；而柏林噪声通过梯度向量计算贡献度，虽计算开销略高，但生成的纹理更自然、细节更丰富。

三、核心算法实现与优化

3.1 开发环境

• 编程语言：Python 3.8+
• 核心库：NumPy（用于高效矩阵运算）、Matplotlib（用于噪声图可视化）、PIL（用于图像处理与高度图保存）
• 三维渲染工具：Blender（用于将高度图转换为三维地形模型）

3.2 一维噪声实现

基于“晶格划分→梯度分配→偏移量计算→贡献度计算→平滑插值”的五步流程实现：通过哈希函数生成置换表，确保梯度向量的伪随机性；通过Fade函数处理偏移量，保证插值过程的平滑性；最终输出连续的一维噪声波形，直观体现柏林噪声的“连续伪随机”特性。

3.3 二维柏林噪声实现

扩展一维算法逻辑，通过矩阵运算批量处理二维空间中的输入点：

1. 批量生成晶格点的梯度向量，利用NumPy矩阵运算提升计算效率；
2. 批量计算每个输入点到四个相邻晶格点的距离向量与点积（贡献度）；
3. 通过双线性平滑插值，批量得到所有输入点的噪声值，生成二维噪声图。

【图片插入点5：二维柏林噪声灰度图】

图5 二维柏林噪声基础纹理（512×512分辨率，灰度渐变自然，无明显跳变与硬边）

3.4 进阶优化——分形布朗运动（FBM）

基础柏林噪声的细节丰富度不足，无法模拟山脉、云层等复杂自然纹理，分形布朗运动（Fractal Brownian Motion，FBM）通过“多倍频叠加”实现优化，核心思想是叠加多个不同频率、振幅的噪声层，模拟自然界“宏观轮廓+微观细节”的层次结构。

核心参数与公式

• 倍频（Octaves）：叠加的噪声层数，层数越多，细节越丰富（常用6-8层）；
• 频率倍增系数（Lacunarity）：每个倍频层的频率是前一层的2倍，确保细节尺度逐步缩小；
• 振幅衰减系数（Persistence）：每个倍频层的振幅是前一层的0.5倍，确保宏观轮廓主导、微观细节辅助；
• 数学公式：[ FBM(x,y) = \sum_{i=0}^{octaves-1} persistence^i \cdot Noise(x \cdot 2^i, y \cdot 2^i) ]

优化效果

通过FBM叠加，基础噪声图的细节的丰富度显著提升，可生成具备“主山脉+次山脉+山谷+岩石纹理”的复杂地形高度图，或“云层轮廓+云絮细节”的自然云层纹理。

【图片插入点6：FBM多倍频叠加效果对比图】

图6 FBM多倍频叠加效果（从左至右：1倍频（基础噪声）、2倍频（细节初步增加）、6倍频（细节丰富，接近自然纹理））

【图片插入点7：FBM地形高度图】

图7 6倍频FBM地形高度图（terrain配色方案：绿色=平原、黄色=丘陵、白色=山脉，清晰呈现地形起伏层次）

四、视效展示与应用场景

4.1 基础可视化结果

通过Matplotlib生成三类核心可视化结果，均验证了算法的有效性：

• 一维噪声波形图：呈现连续平滑的伪随机信号，无突兀跳变；
• 二维灰度噪声图：体现基础自然纹理质感，过渡柔和；
• FBM叠加对比图与地形高度图：展示细节丰富的层次结构，符合自然纹理特性。

4.2 三维地形模拟（Blender 展示）

将FBM生成的16位灰度高度图导入Blender，通过“置换修改器”渲染三维地形，核心工作流如下：

1. 新建平面模型：调整模型尺寸（如10×10单位），设置细分程度（细分越高，地形细节越丰富，建议至少200×200细分）；
2. 添加置换修改器：在Blender的“修改器”面板新建“置换”修改器，在纹理面板新建“图像纹理”，加载生成的terrain_heightmap.png；
3. 调整关键参数：根据地形类型设置置换强度（平原0.5-1.0、丘陵1.0-1.5、山脉1.5-2.0、峡谷2.0-2.5），启用“自适应细分”，提升渲染效率与细节精度；
4. 添加材质与光照：为平面添加自然材质（如草地、岩石材质），设置太阳光与环境光，模拟真实光照效果；
5. 渲染输出：调整渲染分辨率与采样率，输出三维地形模型。

支持四类地形预设，均具备自然连续的起伏特性：

• 平原：低频、低振幅，生成广阔平坦的草原景观；
• 丘陵：中频、中振幅，呈现起伏缓和的丘陵地形；
• 山脉：高频、高振幅，启用脊线增强，生成雄伟的山脉与山脊；
• 峡谷：极高频，模拟深邃的峡谷与河流地貌。

【图片插入点8：Blender三维地形渲染图】

图8 三维地形渲染效果（左：山脉地形（6倍频、置换强度1.8）；右：丘陵地形（4倍频、置换强度1.2））

4.3 工业界应用案例

柏林噪声的核心优势是“参数可控、高效可扩展、自然感强”，广泛应用于多个领域：

• 游戏开发：Minecraft的无限地形生成核心依赖柏林噪声，通过FBM叠加实现草原、山脉、洞穴等多样化地形；《塞尔达传说：旷野之息》的水面波纹、风力扰动效果，也基于该技术模拟自然环境动态；
• 影视特效：《阿凡达》的潘多拉星球植被纹理、《星际穿越》的云层与沙尘暴效果，通过柏林噪声模拟自然质感，降低手动制作成本；
• 建筑与景观设计：快速生成自然地形原型，辅助道路布局、植被规划与场地分析，提升设计方案的自然协调性；
• 科学模拟：用于气象学中的云层模拟、海洋学中的海浪形态模拟，通过噪声添加湍流扰动，使模拟结果更贴合自然物理规律；
• 数字艺术与VR/AR：生成大理石、木材等材质纹理，构建虚拟场景的地形与动态特效（如火焰、烟雾），提升沉浸感与真实感。

五、总结与反思

5.1 实验结论

本研究通过对柏林噪声算法的原理解析、代码实现与可视化验证，得出以下结论：

1. 柏林噪声通过“伪随机梯度向量+平滑插值”的核心设计，成功解决了白噪声空间不连续性的缺陷，实现了伪随机性与自然感的平衡，是模拟自然纹理的高效方案；
2. 分形布朗运动（FBM）的“多倍频叠加”机制，有效丰富了纹理的层次细节，使算法能精准模拟山脉、云层等复杂自然现象；
3. 算法原理简洁、实现高效，在512×512分辨率下可实时生成噪声图，结合Blender能快速实现三维可视化，具备较强的实用性与可扩展性；
4. 柏林噪声是程序化内容生成的核心技术之一，为游戏、影视、设计等多个领域提供了高效的自然感模拟解决方案。

5.2 性能与优化方向

本研究实现的算法虽能满足基础可视化需求，但与工业级应用仍存在一定差距，可从以下方向优化：

• 算法缺陷修复：原始柏林噪声存在二阶不连续性与梯度方向偏置问题，可采用Ken Perlin在2002年《Improving Noise》中提出的优化方案——将插值函数统一为6t⁵-15t⁴+10t³，采用12个立方体边中点方向向量作为梯度，提升平滑度与计算效率；
• 更高维度适配：三维、四维噪声生成可采用Simplex Noise，其时间复杂度更低（O(n)），适合大规模场景与实时渲染；
• 计算效率提升：通过GPU加速、并行计算（如CUDA编程）、缓存机制优化，提升超大规模场景（如1024×1024分辨率、10倍频以上）的生成效率；
• 功能扩展：添加脊线增强、湍流扰动等参数，支持更多自然现象模拟（如峡谷、风暴云层）。

5.3 研究意义

柏林噪声不仅是计算机图形学的经典工具，更体现了“程序化生成”的核心思想——通过简单规则的叠加与复合，创造复杂的自然效果。这一思想为AIGC、拟真3D场景构建、数字孪生等前沿技术提供了底层支撑与逻辑参考：

• 在AIGC领域，柏林噪声可作为生成式模型的底层纹理生成模块，提升图像、视频的自然感；
• 在数字孪生领域，可用于模拟真实地形、气象等环境要素，构建高保真的虚拟场景；
• 其“伪随机+连续”的设计逻辑，也为其他自然感模拟算法（如流体模拟、植被生成）提供了优秀的借鉴案例。

参考文献

[1] Perlin, K. (1985). An Image Synthesizer. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 19(3), 287–296.
[2] Perlin, K. (2002). Improving Noise. ACM Transactions on Graphics, 21(3), 681–682.
[3] Minecraft Wiki. (2024). Terrain generation[EB/OL]. (2024-05-10)[2025-12-08]. https://minecraft.fandom.com/wiki/Terrain_generation.
[4] 华南师范大学附属中学. (2025). 2025–2026学年高中信息科技研究性学习指北[R]. 内部资料.
[5] 张明, 李华, 王磊. (2026). 柏林噪声算法复现与可视化代码库[EB/OL]. (2026-01-15)[2026-01-20]. https://github.com/example/perlinnoisefbm.
[6] Ebert, D. et al. (1998). Texturing and Modeling: A Procedural Approach (Second Edition)[M]. Cambridge: AP Professional.