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秋装形湍from市决赛
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C20250099
LV 7
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2025-11-23 10:30:49
球状星团恒星碰撞问题 — 题目与完整解析
题目
3. 球状星团是宇宙中由数十万至数百万颗恒星在引力束缚下组成的密集球形天体。其核心区域恒星密度极高，远超太阳附近区域的恒星密度。在这种极端环境下，恒星之间的近距离交会甚至物理碰撞成为了一个不可忽视的推动球状星团演化的因素。在本题当中，为了简化物理模型，假定恒星均为均匀球体，球状星团中的恒星密度也被理想化视作全部由质量为 \(M_1\)、半径为 \(R_1\) 的恒星所组成的密度均匀一致的球状星团。
- 3.1 在不考虑万有引力作用的情况下，对于一颗质量为 \(M_2\)、半径为 \(R_2\) 的闯入恒星而言，它们的碰撞横截面 \(\sigma\) 的表达式是什么样的？
- 3.2 请写出闯入星在无穷远处的动能以及系统在任意时刻（两星距离为 \(r\)）的总机械能表达式。
- 3.3 当两颗恒星达到最近距离 \(r_{\min}\) 时，两颗恒星连线方向的相对速度为 0，因此我们可以近似地认为此时闯入星的瞬时速度方向垂直于两颗恒星的连线。那么请写出此时闯入星的角动量 \(L\) 表达式（用 \(M_1, v_\infty, b\) 表示）。
- 3.4 请推导出 \(b\) 与 \(r_{\min}\) 的关系式。
- 3.5 请证明，在考虑万有引力后，总碰撞横截面大小为 \[ \sigma_{\rm coll}=\pi b_{\max}^2=\pi (R_1+R_2)^2\left(1+\frac{v_{\rm esc}^2}{v_\infty^2}\right) \] 式中，\(v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2G(M_1+M_2)}{R_1+R_2}}\) 是两星在距离为 \(R_1+R_2\) 时的逃逸速度。
- 3.6 根据 3.4 和 3.5 问中的表达式，请你计算出闯入星以固定的相对速度 \(v_p\) 沿直径方向穿越一个半径为 \(R_c\)、恒星数密度为 \(n\)（单位体积内的恒星颗数）的球状星团时，与星团内恒星发生碰撞的概率 \(P\)。 （要求使用泊松分布进行概率计算并写出解析）
- 3.7 假定闯入星与成员星均为类太阳恒星，星团的恒星数密度为 \(n=1\times10^5\ \mathrm{pc^{-3}}\)，星团的半径为 \(R_c=10\ \mathrm{pc}\)，相对速度 \(v_p=20\ \mathrm{km/s}\)，那么闯入星单次穿越该星团时与星团内恒星发生碰撞的概率 \(P\) 是多少？
实际上，恒星之间的万有引力会显著影响它们的相对运动轨迹，进而增大有效碰撞横截面。为简化问题，我们现在假设球状星团中的恒星相对静止，而闯入星从无穷远处以速度 \(v_\infty\) 沿一条初始瞄准距离为 \(b\) 的直线趋近，闯入星在引力作用下路径会发生偏折，增大了碰撞几率。
标准答案与完整解析（3.1 — 3.7）
符号约定
- \(M_1,M_2\)：两颗恒星的质量。
- \(R_1,R_2\)：两颗恒星的半径。
- \(v_\infty\)：闯入星在无穷远处的相对速度（或题中表示为 \(v_p\)）。
- \(b\)：冲击参数（初始瞄准距离）。
- \(\mu=\dfrac{M_1M_2}{M_1+M_2}\)：约化质量。
- \(r\)：两星间瞬时距离；\(r_{\min}\)：最近接近距离。
3.1 （无引力）碰撞横截面
不考虑万有引力聚焦，只有几何条件：当两球中心距离 ≤ \(R_1+R_2\) 时发生碰撞。因此几何横截面为
3.2 无穷远处动能与任意时刻总机械能
用质心系与约化质量描述相对运动：
任意时刻（两星距离为 \(r\)）的总机械能（动能 + 引力势能，且把角动量项写出）：
3.3 角动量表达式
远处入射时的角动量（质心系）为冲击参数与相对动量的乘积：
3.4 推导 \(b\) 与 \(r_{\min}\) 的关系
在最近点 \(r=r_{\min}\) 时径向速度为 0，能量守恒给出：
代入 \(L=\mu v_\infty b\) 并简化，注意到 \(\dfrac{M_1M_2}{\mu}=M_1+M_2\)，得到：
3.5 含引力聚焦的碰撞横截面证明
碰撞要求 \(r_{\min}=R_1+R_2\)。把该值代入上式求得导致接触的最大冲击参数 \(b_{\max}\)：
定义接触处的逃逸速度：
因此碰撞横截面为：
3.6 使用泊松分布计算穿越星团的碰撞概率（解析）
将恒星视作在体积中均匀分布、碰撞事件稀疏且独立的过程。若恒星密度为 \(n\)、单颗星的有效碰撞截面为 \(\sigma_{\rm coll}\)、入星沿直径穿越星团则路径长度为 \(L=2R_c\)，则泊松参数（期望碰撞次数）为：
泊松分布给出恰好 \(k\) 次碰撞概率为 \(P(k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)。因此至少一次碰撞的概率为：
若 \(\lambda\ll1\)，可以近似为 \(P\approx\lambda=2n\,\sigma_{\rm coll}\,R_c\)。
3.7 数值计算（逐步、含单位换算）
题设数值： 两星均近似太阳：\(M_1=M_2=M_\odot\), \(R_1=R_2=R_\odot\)。
- \(n=1\times10^5\ \mathrm{pc^{-3}}\)
- \(R_c=10\ \mathrm{pc}\)
- \(v_p=20\ \mathrm{km/s}\)
常数与换算：
- \(G=6.67430\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M_\odot=1.98847\times10^{30}\ \mathrm{kg}\)
- \(R_\odot=6.957\times10^8\ \mathrm{m}\)
- \(1\ \mathrm{pc}=3.085677581\times10^{16}\ \mathrm{m}\)
- \(v_p=20\ \mathrm{km/s}=2.00\times10^4\ \mathrm{m/s}\)
步骤 1 — 逃逸速度：
步骤 2 — 几何截面：
步骤 3 — 引力聚焦因子：
步骤 4 — 总碰撞截面：
步骤 5 — 密度换算：
步骤 6 — 路径长度：
步骤 7 — 泊松参数：
步骤 8 — 发生至少一次碰撞的概率：
结论： 单次穿越该星团时与星团内恒星发生碰撞的概率约为 \(\boxed{P\approx1.22\times10^{-5}}\)（约 \(0.00122\%\)）。