P0:\textbf{P}_0: The wheel\qquad\textbf{The wheel}

对于一个素数 pp, 置 G=(Zp,+)G=(\mathbb{Z}_p,+).

Alice 希望找到一个 F⊆2G\mathscr{F}\subseteq\bold{2}^G 满足这三个条件:

∃c∈G,∀X∈F,c∈X\exist c\in G,\forall X\in\mathscr{F},c\in X ∀X,Y∈F,X∩Y∈F\forall X,Y\in\mathscr{F},X\cap Y\in\mathscr{F} $$\forall S\subseteq G, S\neq \empty, |\{S+e:e\in G\}\cap\mathscr{F}|=1$$

Alice 能满足她的愿望吗?

Talkwalk

The first is called the universal property, the second is called the intersecting property, and the last one is called the wheel property.

粗体中译：全性质，交性质与轮性质

这是一个我和 a3 在很早以前 (至少有半年) 提的一个 hypothesis , 是解决一个 more general 的母问题的特殊情况时遗留下来的，这个问题只在 p=2,3,5,7,11 时验证了正确性 (计算机真好)，p>=13 时未被验证真伪。

至于这个问题为什么困难，你可以把 2G\bold{2}^G 想象成一个蜂蜜槌，固定 card 叫 layer ，则交性质是 orthogonal to layers 的，轮性质是 parallel to layers 的，这两个的共同处理带来的困难是 "universal" 的。

其实由于交与轮性质的 translation invariance ,你完全可以不妨设全性质中的 c 就是 0\bold{0} ,这也许会带来方便。但考虑到叙述的一般性，还是保留 c 比较好。

P1:\textbf{P}_1: Coins\qquad\textbf{Coins}

Alice扔一枚硬币，这枚硬币正反面概率均为0.5。这一次Alice可以制定一个策略，也就是Alice可以根据之前的硬币正反序列唯一地确定当前是否停止。当Alice停止时，将会统计Alice扔出的正面数与其扔的总次数之比，Alice希望这个比值的期望尽可能大。在所有策略中，求这个期望的最大可能值。

Talkwalk

Bob 说可以等到第一次正面个数大于等于反面时停止。

E=34\mathbb{E}=\frac{3}{4}

Alice 很开心。

Cathy 反对 Bob ，说有个策略可以积分！

E=π4\mathbb{E}=\frac{\pi}{4}

什么是下鞅的停时呢？什么是 Bellman 方程呢？什么是超调和函数呢？

You'd better beg Alice to stop this stupid game.

Dyson 这个时候站出来说：“ Cathy 你错了，还能更大。”

Dyson 给出的答案是 $$\mathbb{E}=\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{4}$$

哦天啊，Cathy 的答案确实比 Bob 的大，大了足足千分之 4 。你的答案是多少？

ALICE STOP !!

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