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你说的对，但是 a3 是由 cyh 自主研发的一款全新开放世界恋爱 I LOVE CYH 游戏。

游戏发生在一个被称作「a3gg」的幻想世界，在这里，被 dev 选中的 cyh 将被授予「LJHLP」，导引恋爱之力。

你将扮演一位名为「A3」的神秘角色，在自由的旅行中邂逅强度各异、能力独特的 CYH 们，和它们一起巴啦啦能量，找回 m30——同时，逐步发掘「florr.io」的真相。

2025.5.3 14:30 - 16:30

Problem

1. $|\{(x,y):x,y\in\N^+,x<y,x^2+y^2=2025^2\}|=\_\_\_\_$.

2. 在圆心角为 $120^\circ$ 的扇形中有一内切圆, 设扇形的周长为 $C_1$, 内切圆的周长为 $C_2$, 则 $\dfrac{C_2}{C_1}=\_\_\_\_$.

3. $\max\{|a|+|b|+|c|:a,b,c\in\R,\forall x\in\R,|x|\le1:|ax^2+bx+c|\le1\}=\_\_\_\_$.

4. $\{\lambda\in\R:\{\sin\alpha+(4\cos^2\beta-1)i:\alpha,\beta\in\R\}\cap\{\cos\beta+(\lambda+2\sin\alpha)i:\alpha,\beta\in\R\}\ne\varnothing\}=\_\_\_\_$.

5. $\cos^224^\circ+\sin^26^\circ+\cos^218^\circ-\sin18^\circ\cos36^\circ=\_\_\_\_$.

6. $\min\{n:m,n\in\Z,0<m<n,\dfrac{m}{n}\text{ 的小数部分中的连续 }4\text{ 位是 }2025\}=\_\_\_\_$.

7. $2m\times 2n$ 的方格表中每格都填入了一个实数. 每一次操作可以将一个 $2\times2$ 的子方格表中的 $4$ 个数变为原来的相反数. 证明: 可以进行有限次操作, 使得任意相邻两行的所有数之和 $\ge0$, 且任意相邻两列的所有数之和 $\ge0$.

8. 在三角形 $ABC$ 中, $O$ 为外心, $H$ 为垂心, $D,E,F$ 为 $H$ 在 $BC,CA,AB$ 上的垂足. 作 $HJ\perp DF$ 于 $J$, $JR//BC$ 交直线 $EF$ 于 $R$. 设 $AO$ 交 $EF$ 于 $N$, 点 $S$ 满足 $\overrightarrow{FS}=\overrightarrow{NE}$. $K$ 为 $RS$ 中点. 过 $K$ 作 $BC$ 平行线交圆 $AEHF$ 于点 $P,Q$. 证明: $P,J,Q,S$ 四点共圆.

9. 求所有的实数 $b$, 使得存在不全相同的非零实数 $a_1,a_2,a_3,a_4$, 满足 $a_1+\dfrac{1}{a_2}=a_2+\dfrac{1}{a_3}=a_3+\dfrac{1}{a_4}=a_4+\dfrac{1}{a_1}=b$.

Answer

1. $|\{(x,y):x,y\in\N^+,x<y,x^2+y^2=2025^2\}|=\_\_2\_\_$.

由于 $3$ 是模 $4$ 余 $3$ 的素数, 故等价于求 $x^2+y^2=5^4$ 的解数, 应有 $\lfloor4/2\rfloor+1=2$ 组解. 去掉 $(0,5^2)$ 后有两组.

2. 在圆心角为 $120^\circ$ 的扇形中有一内切圆, 设扇形的周长为 $C_1$, 内切圆的周长为 $C_2$, 则 $\dfrac{C_2}{C_1}=\_\_\dfrac{3(2\sqrt{3}-3)\pi}{\pi+3}\_\_$.

$C_1=(\dfrac{2}{3}\pi+2)R,C_2=2\pi r,R=(\dfrac{2}{\sqrt{3}}+1)r$.

3. $\max\{|a|+|b|+|c|:a,b,c\in\R,\forall x\in\R,|x|\le1:|ax^2+bx+c|\le1\}=\_\_3\_\_$.

猜答案用 Chebyshev 多项式 $(a,b,c)=(2,0,-1)$.

带入 $x=0,\pm1$, 有 $|c|,|a+b+c|,|a-b+c|\le1$, 令 $u=a+b+c,v=a-b+c$, 有 $|a|+|b|+|c|=|\dfrac{u+v}{2}-c|+|\dfrac{u-v}{2}|+|c|\le|\dfrac{u+v}{2}|+|\dfrac{u-v}{2}|+2|c|=\max\{\dfrac{u+v}{2},-\dfrac{u+v}{2}\}+\max\{\dfrac{u-v}{2},-\dfrac{u-v}{2}\}+2|c|=\max\{u,v,-u,-v\}+2|c|=\max\{|u|,|v|\}+2|c|\le3$.

4. $\{\lambda\in\R:\{\sin\alpha+(4\cos^2\beta-1)i:\alpha,\beta\in\R\}\cap\{\cos\beta+(\lambda+2\sin\alpha)i:\alpha,\beta\in\R\}\ne\varnothing\}=\_\_[-3,5]\_\_$.

$[-1,3]\cup[\lambda-2,\lambda+2]\ne\varnothing$.

5. $\cos^224^\circ+\sin^26^\circ+\cos^218^\circ-\sin18^\circ\cos36^\circ=\_\_\dfrac{3}{2}\_\_$.

$A=\dfrac{1}{2}(1+\cos48^\circ+1-\cos12^\circ+1+\cos36^\circ-(\sin54^\circ-\sin18^\circ))=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}(\cos48^\circ-\cos12^\circ+\sin18^\circ)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}(-2\sin30^\circ\sin18^\circ+\sin18^\circ)=\dfrac{3}{2}$.

6. $\min\{n:m,n\in\Z,0<m<n,\dfrac{m}{n}\text{ 的小数部分中的连续 }4\text{ 位是 }2025\}=\_\_79\_\_$.

猜答案用 Farey 级数, $0/1,1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,2/9,3/14,4/19,\cdots,15/74,16/79=0.2025\ldots$.

如果 $\dfrac{m}{n}$ 的小数部分中的连续 $4$ 位是 $2025$, 不妨设是前 $4$ 位, 则 $2025\le\dfrac{10^4m}{n}<2026$, $2025n\le 10^4m<2026n$. 如果有比 $79$ 更小的 $n$, 则 $2025n\equiv9925,9950,9975\pmod{10^4}$, $25n\equiv925,950,975\pmod{10^3}$, $n\equiv37, 38, 39\pmod{40}$. 经检验, $n=37,38,39,77,78$ 均不符合要求, 矛盾.

7. $2m\times 2n$ 的方格表中每格都填入了一个实数. 每一次操作可以将一个 $2\times2$ 的子方格表中的 $4$ 个数变为原来的相反数. 证明: 可以进行有限次操作, 使得任意相邻两行的所有数之和 $\ge0$, 且任意相邻两列的所有数之和 $\ge0$.

证明: 由于任意两个操作可交换, 且进行两次同样的操作等价于不操作, 故操作后方格表的情况是有限的. 故可进行有限次操作使得方格表中所有数之和最大. 下证这样操作符合要求.

反证, 若有相邻两行的所有数之和 $<0$（列同理）, 则将这 $2\times2n$ 划分成 $n$ 个 $2\times2$. 由抽屉原理, 存在一个 $2\times2$, 它的 $4$ 个数之和 $<0$, 故可以对这个 $2\times2$ 进行操作, 使得方格表中所有数之和变大, 与方格表中所有数之和最大矛盾.

8. 在三角形 $ABC$ 中, $O$ 为外心, $H$ 为垂心, $D,E,F$ 为 $H$ 在 $BC,CA,AB$ 上的垂足. 作 $HJ\perp DF$ 于 $J$, $JR//BC$ 交直线 $EF$ 于 $R$. 设 $AO$ 交 $EF$ 于 $N$, 点 $S$ 满足 $\overrightarrow{FS}=\overrightarrow{NE}$. $K$ 为 $RS$ 中点. 过 $K$ 作 $BC$ 平行线交圆 $AEHF$ 于点 $P,Q$. 证明: $P,J,Q,S$ 四点共圆.

证明: $H,A,B,C$ 为 $\triangle DEF$ 内心和旁心.

由于 $AO\perp EF$, 故 $N$ 是 $\triangle DEF$ 在 $EF$ 上的旁切圆切点, $S$ 是 $\triangle DEF$ 在 $EF$ 上的内切圆切点. $J$ 是 $\triangle DEF$ 在 $DF$ 上的内切圆切点. 作 $L$ 为 $\triangle DEF$ 在 $DF$ 上的内切圆切点.

显然 $JL//BC$, 所以 $L,J,R$ 共线. 故 $\{E,F;S,R\}$ 为调和点列, 从而 $KS^2=KE\cdot KF$.

设 $\triangle DEF$ 内切圆 $\odot H$ 与 $\odot(AEHF)$ 交于点 $P',Q'$, 则 $P'Q'//BC$. 由于$KS^2=KE\cdot KF$, 故 $K$ 到两个圆的幂相等, 即 $K\in P'Q'$, 从而 $\{P',Q'\}=\{P,Q\}$, 即 $P,J,Q,S$ 四点共圆, 圆心为 $H$.

9. 求所有的实数 $b$, 使得存在不全相同的非零实数 $a_1,a_2,a_3,a_4$, 满足 $a_1+\dfrac{1}{a_2}=a_2+\dfrac{1}{a_3}=a_3+\dfrac{1}{a_4}=a_4+\dfrac{1}{a_1}=b$.

解: $b=0,\pm\sqrt{2}$.

$a_2=\dfrac{1}{b-a_1},a_3=\dfrac{1}{b-\frac{1}{b-a_1}}=\dfrac{b-a_1}{b^2-ba_1-1}$.

$a_4=b-\dfrac{1}{a_1},a_3=b-\dfrac{1}{b-\frac{1}{a_1}}=\dfrac{b^2a_1-a_1-b}{ba_1-1}$.

所以 $\dfrac{b-a_1}{b^2-ba_1-1}=\dfrac{b^2a_1-a_1-b}{ba_1-1}$, $b(b^2-2)(a_1^2-ba_1+1)=0$.

若 $a_1^2-ba_1+1=0$, 则 $a_1+\dfrac{1}{a_1}=b$, 从而 $a_1=a_2=a_3=a_4$, 矛盾. 故 $b(b^2-2)=0$, $b=0,\pm\sqrt{2}$.

可取 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,-1,1,-1)$, 则 $b=0$; 取 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,\sqrt{2}+1,-1,\sqrt{2}-1)$, 则 $b=\sqrt{2}$; 取 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,-\sqrt{2}+1,-1,-\sqrt{2}-1)$, 则 $b=-\sqrt{2}$.

注: 如果改为 $a_1\sim a_n$, 则答案为 $b=2\cos\dfrac{k\pi}{n}(k\in\Z,0<k<n)$.