角平分线长:

对于三角形 $ABC$, $AE$ 为角平分线, 且 $E\in BC$.

1 $AE^2=AB\cdot AC-EB\cdot EC$.

证明:

设 $AB=a,AC=b,BE=c,CE=d,AE=x,\angle AEB=\theta$

由角平分线定理, 设 $\lambda=\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$

由余弦定理 $a^2=c^2+x^2-2cx\cos\theta$ ①, $b^2=d^2+x^2+2dx\cos\theta$ ②.

$\lambda ①+②$ 得 $(1+\lambda)x^2=b(a+b)-d(c+d)$. 两侧约去 $(1+\lambda)$, 即得证.

2 $AE=\dfrac{2\cos\angle BAE\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}$.

证明:

设 $\angle BAE=\phi$.

有 $2S=ab\sin(2\phi)=ax\sin\phi+bx\sin\phi$, 约去 $\sin\phi$ 即得证.

奔驰定理

对于 三角形 $ABC$, 和点 $O$, 有 $S_{BOC}\cdot \overrightarrow{OA}+S_{COA}\cdot \overrightarrow{OB}+S_{AOB}\cdot \overrightarrow{OC}=0$. (面积为有向面积)

证明: 将 $S_{OAB}$ 等用叉积展开可证.

重心: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$

外心: $\sin2A\cdot \overrightarrow{OA}+\sin2B\cdot \overrightarrow{OB}+\sin2C\cdot \overrightarrow{OC}=0$.

$|OA|=|OB|=|OC|$, 且 圆心角为圆周角 2 倍, 即$\ang BOC=2A$

内心: $a\cdot \overrightarrow{OA}+b\cdot \overrightarrow{OB}+c\cdot \overrightarrow{OC}=0$. ($S_{OBC}=\frac 1 2 ar$ 等)

垂心: $\tan A\cdot \overrightarrow{OA}+\tan B\cdot \overrightarrow{OB}+\tan C\cdot \overrightarrow{OC}=0$.

设 $AO,BO,CO$ 的垂足分别为 $D,E,F$,

$\dfrac{\tan A}{\tan B}=\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{COA}}$, 其他同理.

$\triangle ABC$ 内: $\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$

$$0=\tan(A+B+C)=\frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan A\tan C-\tan B\tan C}$$

$\triangle ABC$, 垂心 $O$, 有 $\angle AOB=A+B$ 等