1. $\triangle ABC$ 中, $M$ 为 $BC$ 中点, 圆 $\omega$ 与 $BC$ 切于 $M$, $\omega$ 与 $A$ 位于直线 $BC$ 的异侧. $X$ 在 $AB$ 延长线上, $Y$ 在 $AC$ 延长线上, 满足: $B, C, X, Y$ 共圆, 且 $\omega$ 在 $\odot AXY$ 的内部.

圆 $\omega_X$ 与 $\odot AXY$ 内切于 $X$, 且与 $\omega$ 内切; 圆 $\omega_Y$ 与 $\odot AXY$ 内切于 $Y$, 且与 $\omega$ 内切. 证明: $\omega_X$ 和 $\omega_Y$ 有一条平行于 $BC$ 的外公切线.

2. 求所有大于 $1$ 的正整数 $n$, 使得存在一个其所有正约数的排列 $d_1, d_2, \dots, d_k$, 和一个整系数多项式 $f(x)$, 满足: $f(d_j) = d_{j+1}$ 对 $j = 1, 2, \dots, k - 1$ 均成立.

3. 给定正整数 $n$ 是 $6$ 的倍数. 将一个 $n \times n$ 方格表的每个格子染成三种颜色之一. 满足任何两个有公共边的格子的颜色都不一样, 并且三种颜色的格子数量都相同.

将 $1 \times 3$ 或 $3 \times 1$ 的矩形称为 "条形", 如果一个条形中有且只有三种颜色, 则称它是 "好的". 问至少有多少个好的条形.

4. 对 $\forall n \in \mathbb{Z}^+, n \ge 2$, 对 $\forall x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}^+$, 证明:

$$\left( \prod_{k=1}^n (1 + x_k) \right)^{n-2} \left( 1 + \sum_{k=1}^n x_k \right) \ge \prod_{1 \le i < j \le n} (1 + x_i + x_j)$$

5. 有 2026 张一样的卡牌, 每张卡牌有正面和反面, 初始将这些卡牌任意地分为若干堆, 每一堆的卡牌要么都是正面朝上要么都是反面朝上.

每次进行操作如下: 在所有正面朝上的卡牌堆中每堆各拿出一张卡牌, 共拿出 $x$ 张, 在所有反面朝上的卡牌堆中每堆各拿出一张卡牌, 共拿出 $y$ 张, 然后将拿出的 $x$ 张卡牌反面朝上作为新的一堆, 将拿出的 $y$ 张卡牌正面朝上作为新的一堆.

例如, 正面朝上的有四堆: 1000, 10, 5, 1, 反面朝上的有两堆: 1000, 10, 那么操作一次后, 正面朝上有四堆: 999, 9, 4, 2, 反面朝上有三堆: 999, 9, 4.

证明: 不论初始状态如何, 一定可以经过有限次操作, 使得正面朝上的卡牌总数和反面朝上的卡牌总数相等.

6. $p$ 是一个大于 $3$ 的素数, 整数 $a_1, a_2, \dots, a_p$ 模 $p$ 互不相同, 证明: 存在一个 $(p-1)/2$ 次的首一整数多项式 $f(x)$, 使得:

$$p \mid \sum_{k=1}^p a_k f(k)$$