8. 用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 十进制表示的各位数字之和. 证明: 存在正整数 $k$, 使得 $k$ 的各位数字均不为 $9$, 且 $S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$.

9. 给定正整数 $u_0,v_0,k$. 证明: 存在互不相同的 $k+1$ 个正整数 $b_0,b_1,\cdots,b_k\ge2$ 和整数 $u_1,v_1,u_2,v_2,\cdots,u_k,v_k$, 使得

$$u_i\in\{1,2,\cdots,b_i-1\},v_i\in\{0,1,\cdots,b_i-1\}(i=0,1,\cdots,k)$$

以及

$$b_0^2u_0+b_0v_0+u_0=b_1^2u_1+b_1v_1+u_1=\cdots=b_k^2u_k+b_kv_k+u_k.$$

10. 证明: 对任意正整数 $k$, 存在正整数 $b$ 和 $k$ 个两两不同的三元正整数组 $(X,Y,Z)$, 满足 $X,Y,Z$ 以及 $(XYZ)_b$ (三个数在 $b$ 进制下的拼接) 均为斐波那契数.

11. 记 $r_m(n)=n-m\lfloor\dfrac nm\rfloor$, $f_k(n)=r_{2^k-1}(n)$. 一个正整数 $n$ 称为好的, 如果

$$f_1(n)\le f_2(n)\le\cdots.$$

证明: (1) 好数有无穷多个. (2) 存在正整数 $N$, 使得不超过 $N$ 的好数个数不超过 $\dfrac{N}{2025^{2025}}$.

12. 设 $X\subset\Z$ 满足 $|X|=47$. 证明: 存在 $X$ 的两个不同二元子集 $\{x_1,y_1\},\{x_2,y_2\}$ 使得 $$x_1+y_1\equiv x_2+y_2\pmod{2022}.$$

13. 设 $(1<)p<q$ 是两个互素的奇数. 记 $r_m(n)=n-m\lfloor\dfrac nm\rfloor$. 证明: $\{0,1,\cdots,pq-1\}$ 中至少有 $\dfrac{(p-1)(q+1)}8$ 个奇数 $x$ 满足 $r_p(x),r_q(x)$ 均为偶数, 也至少有 $\dfrac{(p-1)(q+1)}8$ 个偶数 $x$ 满足 $r_p(x),r_q(x)$ 均为偶数.

14. 给定奇数 $n\ge3$. 对 $1,2,\cdots,n$ 的排列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$, 设 $S=\{(i,j)\in\Z^2:1\le i\le j\le n,n\mid a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j\}$. 求 $|S|$ 的最大可能值.