1. 设 $A,B,C\subset\Z$ 非空有限，证明

2. 在无向图 $P_{2n}^2$（$2n\times2n$ 的点阵，距离为 $1$ 连边）中有两个完美匹配（边集）$\Gamma_1,\Gamma_2$ 满足 $\Gamma_1\cap\Gamma_2=\varnothing$。证明存在完美匹配 $\Gamma$ 使得 $|\Gamma\cap\Gamma_1|+|\Gamma\cap\Gamma_2|\le2n$。

3. 平面上 $2n$ 个点 $A_1,A_2,\cdots,A_n,B_2,B_2,\cdots,B_n$ 满足 $A_iB_i>100,A_iB_j\le101(\forall i\ne j)$。证明 $n\le10^6$。

4. 设 $n$ 是正整数，$f:\Z_{\ge0}^n\to\Z_{\ge0}^n$ 定义为 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$。 其中 $b_i=\begin{cases}a_i-1&,a_i>0\\\min\{j\in\Z^+:a_{i+j}=0\}-1&,a_i=0\end{cases}$，下标模 $n$ 理解。

求所有的正整数 $n$ ，使得对任意 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\Z_{\ge0}^n$，只要 $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$，就存在 $k\in\Z^+$ 使得 $f^k(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(0,0,\cdots,0)$，其中 $f^k$ 表示 $k$ 次迭代。

5. 对任意两棵点集均为 $V$ 的树 $T_1,T_2$，称 $T_1$ 可变换到 $T_2$，如果存在 $u,v,w\in V$ 使得 $uv,uw\in E(T_1),uv,vw\in E(T_2)$，且 $E(T_1)\setminus\{uv,uw\}=E(T_2)\setminus\{uv,vw\}$。 证明：存在正整数 $N$，使得对任意正整数 $n>N$ 和两个 $n$ 阶树 $T_1,T_2$，可以通过不超过 $2n-2026$ 次变换将 $T_1$ 变为一棵与 $T_2$ 同构的树。

6. 证明：对任意（可有重边和自环）的（有限）有向图 $G$，存在顶点集的划分 $V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_n$ 和代表元集（即从每个 $V_i$ 恰选一个顶点放入 $S$）$S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$，使得以下两个条件成立： (1) 对任意 $i$ 和 $u,v\in V_i,u\ne v$，都有 $u,v$ 在 $G$ 中互不可达。 (2) 对任意 $u,v\in S$，都有 $u,v$ 在 $G$ 中互相可达（强连通）。

其中，在 $G$ 中 $u$ 可达 $v$ 当且仅当存在 $u$ 到 $v$ 的有向路。