problemset

8. 给定正整数 $a,d,r$。设 $p_n$ 是 $a^{dn+r}+1$ 的最小素因子。 (1) 证明存在一个素数在 $p_1,p_2,\cdots$ 中出现无限次。 (2) 求所有 $(a,d,r)$ 使得 $p_1,p_2,\cdots$ 无上界。

9. 求所有正整数对 $(a,b)$，使得对任意正整数 $n$，都有 $n+1\mid\dbinom{an+b}{n}$。

10. 求所有正整数组 $(a,b,c)$，使得 $\gcd(a,b,c)=1$ 且

$$a+b+c\mid a^k+b^k+c^k(k=12,23,11004)$$

11. 求所有正整数 $a$，使得存在正整数 $k,l,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_l$ 满足

$$\prod\limits_{i=1}^k(a^{\alpha_i}-1)=\prod\limits_{j=1}^l(a^{\beta_j}+1)$$

12. 求所有非负整数 $a,b,c,n$ 使得 $2^a+3^b+5^c=n!$。

13. 正整数序列 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 满足： (1) $\forall0<i<n:a_i\in\{a_{i-1}+a_{i+1},|a_{i-1}-a_{i+1}|\}$。 (2) $\gcd(a_0,a_1,\cdots,a_n)=1$。 (3) $a_0\ne a_n$。 证明：$\min\{a_0,a_1,\cdots,a_n\}<\sqrt{\operatorname{lcm}(a_0,a_n)}$。

14. 设 $n>1$ 是奇数，满足 $\varphi(n),\varphi(n+1)$ 均为 $2$ 的幂。证明 $n+1$ 为 $2$ 的幂或 $n=5$。