problemset

1. 是否存在正整数 $N$ 和无穷正整数列 $a_1,a_2,\cdots$，满足 $\forall n>N$：

$$a_{n+1}=\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$

2. 设 $a,b$ 是正整数，满足 $\varphi(ab+1)\mid a^2+b^2+1$。证明 $a,b$ 是斐波那契数。

3. 求所有函数 $f:\Z^+\to\Z^+$，使得对任意 $x,y,k\in\Z^+$，有

$$\sum\limits_{i=0}^{k-1}f(x)^if(y)^{k-i}\mid x^{f(k)}-y^{f(k)}$$

4. 对正整数 $n$，设 $f(n)=10(n-10^bd)+d$，其中 $10^bd\le n<10^b(d+1),b,d\in\Z,0\le d<10$。 两个整数 $m,n$ 称为弱轮换的，如果存在正整数 $k$，使得 $m=f^k(n)$ 或 $n=f^k(m)$，其中 $f^k$ 表示 $k$ 次迭代。 证明：对任意正整数 $a,k$，若 $a,10$ 互素，则存在 $k$ 个互不相同的两两弱轮换的正整数 $n_1,n_2,\cdots,n_k$，满足 $\gcd(n_1,n_2,\cdots,n_k)=a$。

5. 给定正整数 $n\ge2$。设有限集 $A\subseteq\Z^+$ 满足： (1) $A$ 中元素均为奇数。 (2) $A$ 中任意两个不同元素无整除关系。 (3) 对 $A$ 中任意 $n+1$ 个不同元素，存在其中三个不同元素 $x,y,z$ 使得 $x\mid y+z$。 证明： $|A|<2^{n^3}$。

6. 设 $f(n)$ 是最小的正整数 $a$，使得 $\varphi^a(n) =1$，其中 $\varphi^a$ 表示 $a$ 次迭代。求 $f(mn)-f(m)-f(n)$ 的所有可能值。

7. 设 $S=\{x^2+y^2:x,y\in\Z\}$。整系数多项式 $F$ 满足对任意非负整数 $n$，$n\in S\iff F(n)\in S$。证明 $\deg F$ 是奇数。