problemset

1. 不等边三角形 $ABC$ 的外心为 $O$，内心为 $I$，伪内切圆切点为 $F$。设 $A$ 关于 $OI$ 的对称点为 $A'$，证明：$BC$ 过 $IFA'$ 外心。

2. 不等边三角形 $ABC$ 的外心为 $O$，内心为 $I$。设 $A$ 关于 $I$ 的对称点为 $D$，$D$ 关于 $BC$ 的对称点为 $E$。证明 $\triangle AOI\sim\triangle IOE$。

3. 求所有正整数 $n$ 使得 $6(n^4-1)$ 是完全平方数。

4. 设 $F_0=F_1=1,F_{n+1}=F_n+F_{n-1}(n\in\Z^+)$。问 $T=\sum\limits_{i\ge0}\dfrac1{(F_i^2)!}$ 是否是二次代数数。

5. 是否对于任意的 $S\subseteq\R^2$，存在一个面积为 $1$ （边不一定与坐标轴平行）的闭矩形区域 $T$，使得 $T\cap S=\varnothing$ 或 $|T\cap S|>2026$（$T\cap S$ 可以无限）？

6. 给定正整数 $n\ge8$。是否对平面上任意 $n$ 条一般位置（无平行，无三线共点）的直线，存在至少 $\dfrac1{12}(n-2)(n-3)$ 个有界面，它们边数相同且两两无公共边？ 面是指若干条直线围成的极小（有界/无界）多边形区域。

7. 求最大的实数 $k$，使得对任意满足 $abc=1$ 的正实数 $a,b,c$，有

$$a^2+b^2+c^2+k(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)\ge(k+1)(a+b+c)$$

8. 给定正整数 $a,b(a\ge2)$ 和 $ab+1$ 个模长为 $1$ 的复数 $z_1,z_2,\cdots,z_{ab+1}$，证明：

$$\sum\limits_{k=1}^{a-1}|\sum\limits_{1\le m\le ab+1-k}z_m\overline{z_{m+k}}|\ge\dfrac12(\dfrac{|\sum\limits_{k=1}^{ab+1}z_k|^2}{b+1}-ab-1$$

9. 是否存在 $f:\R^2\to\R$，使得 $f$ 不恒为 $0$ 且对任意边长为 $1$ （边不一定与坐标轴平行）的正方形的四个顶点 $A,B,C,D$，都有 $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$？