problemset

1. 相交的圆 $\bigodot O_1,\bigodot O_2$ 在 $\bigodot O$ 内并且与 $\bigodot O$ 切于 $S,T$ 两点。$\bigodot O$ 的弦 $AB$ 与 $\bigodot O_1,\bigodot O_2$ 切于 $E,F$。设 $AO_2,BO_1$ 交于 $X$，$N$ 是弧 $ASTB$ 中点，$NX,O_1O_2$ 交于 $P$。证明：$P$ 为 $\bigodot O_1,\bigodot O_2$ 的内位似中心。

2. 三角形 $ABC$ 的外心为 $O$，一条直线 $l$ 交 $BC,CA,AB$ 于 $D,E,F$（均不同于端点）。设 $OA$ 交 $\bigodot(AEF$ 于 $X(\ne A)$，$Y,Z$ 类似定义。证明：$\triangle XYZ$ 的内心在 $l$ 上。

3. 若 $n\ge2$ 是正整数，$x_0<x_1<\cdots<x_n$ 满足 $\dfrac1{x_0},\dfrac1{x_1},\cdots,\dfrac1{x_n}$ 是等差数列。证明：$x_0\ge\dfrac{2^n}{n+1}$。

4. 给定正整数 $t\ge3$ 和正整数 $m,p$，满足 $p$ 是素数且 $m<p<\dfrac{t}{t-1}m$。求 $\sum\limits_{k=0}^m((-1)^k\dbinom{m}{k})^t\bmod\ p$。

5. 给定正整数 $n\ge3$，求最大的正实数 $\lambda$，使得对任意正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，有

$$\lambda\sum\limits_{i<j,i\nmid j}\dfrac1{x_i+x_j}\le\sum\limits_k\dfrac1{x_k}+4\sum\limits_{i<j}\dfrac1{x_i+x_j}$$

6. 求所有的函数 $f:\Z\to\Z$，使得对任意 $x,y\in\Z$，都有 $f(f(x)+y)+xf(y)=f(xy)+f(x)+f(f(y))$。

7. 给定正整数 $m$。对 $(m+1)\times m$ 的网格图，一个边集称为好的，如果删去该边集后依然存在从第一行到最后一行的路径。求好边集的个数。

8. 设 $G$ 是一个 $2027$ 阶完全图，函数 $f:E(G)\to\{0,1,\cdots,1012\}$ 满足对任意三个（不同）点 $x,y,z$，$f(xy),f(yz),f(zx)$ 中有两个的和等于另一个。问是否一定存在三个（不同）点 $x,y,z$ 使得 $f(xy)=f(yz)=f(zx)=0$。

9. 求所有 $C^1$ 函数 $f:\R\to\R^+$，使得 $\forall x\in\R:f'(x)=f(x-1)$。