problemset

1. 给定正整数 $n\ge4$。两两不同的非负整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ 满足 $b_i=\dfrac1{2n-2}\sum\limits_{j\ne i}(a_j+b_j)(i=1,2,\cdots,n)$。求 $2n$ 个数的极差的最小可能值。

2. $a\le b$ 是两个互素的正整数，奇素数 $p\mid a+b$。证明：对任意正整数 $k$，存在正整数 $n<p^k$，使得 $p^k\mid(a^n+b)(b^n+a)$。

3. $n=2026$。求最小的实数 $c$ 使得对任意和为 $0$ 的实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有

$$c\max_{1\le i<j\le n}a_ia_j\ge\sum\limits_{i=1}^n\min\{a_{i-1}a_i,a_ia_{i+1}\}$$

其中下标按 $\bmod\ n$ 理解。

4. 给定三角形 $ABC$。点 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点。直线 $AP, BP, CP$ 分别与 $\triangle ABC$ 的外接圆再次相交于 $A', B', C'$。记

$$\begin{aligned} B_c &= \triangle PBC' \text{ 的外心}, & C_b &= \triangle PCB' \text{ 的外心}, \\ C_a &= \triangle PCA' \text{ 的外心}, & A_c &= \triangle PAC' \text{ 的外心}, \\ A_b &= \triangle PAB' \text{ 的外心}, & B_a &= \triangle PBA' \text{ 的外心} \end{aligned}$$

证明：线段 $B_c C_b, C_a A_c, A_b B_a$ 共点。

5. 设 $m$ 为给定的正整数。求最大的实数 $\lambda_m$，使得对任意 $n \ge m+1$，均有

$$\sum_{\substack{A \subseteq \{1, \dots, n\} \\ |A| \ge m, |A| \equiv n \pmod 2}} 2^{n - |A| + 2s(A)} \ge \lambda_m \sum_{\substack{A \subseteq \{1, \dots, n\} \\ |A| \ge m, |A| \not\equiv n \pmod 2}} 2^{n - |A| + 2s(A)}$$

这里对任意集合 $A \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$，记 $s(A) = \sum_{a \in A} a$。

6. 对任意三维整点集 $X = \{P_1, \dots, P_n\} \subset \mathbb{Z}^3$，我们记

$$\mathcal{V}(X) = \sum_{1 \le i < j < k < l \le n} \operatorname{Vol}(P_i P_j P_k P_l)$$

其中 $\operatorname{Vol}(P_i P_j P_k P_l)$ 是四面体 $P_i P_j P_k P_l$ 的体积。我们约定若四面体退化（四点共面）则其体积为 $0$。

求最大的实数 $M$，使得对任意一个 $2026$ 元三维整点集 $X$，只要

$$\mathcal{V}(X) < M,$$

就必有至少 $2025$ 个点共面。

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