1. 设 $n$ 是一个正整数。黑板上写着 $n$ 个非负整数，现在可以进行如下操作：擦去 $k$ $(1 \le k \le n)$ 个数 $x_1, x_2, \dots, x_k$，然后写上 $k$ 个 $\left\lfloor \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_k}{k} \right\rfloor$，其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。例如，若擦去 $2, 5, 6$，则写上 $4, 4, 4$。已知可以通过有限次操作，使得黑板上的数都变成 $0$，求最初的 $n$ 个整数之和的最大值。

2. 是否存在大于 $2026$ 的整数 $a, b, c$，使得 $(a + \sqrt{b})^c$ 化成十进制小数后的形式为 $(a + \sqrt{b})^c = \dots 2025.2026 \dots$？

3. 设 $n$ 是一个正整数，$a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ 是一些正实数，而正实数 $c_2, \dots, c_{2n}$ 满足 $c_{i+j}^2 \ge a_i b_j$ 对任意 $i, j$ 成立，证明

$$\left( \frac{M + c_2 + \dots + c_{2n}}{2n} \right)^2 \ge \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \cdot \frac{b_1 + \dots + b_n}{n},$$

这里 $M = \max(c_2, \dots, c_{2n})$。

4. 设整数 $n \ge 2$，非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的和为 $\frac{n}{2}$，令

$$b_i = a_i + a_{i+1} + \dots + a_{i+n-2} + 2 a_i a_{i+1} \dots a_{i+n-1},$$

这里 $a_{j+n} = a_j$。证明：存在角标 $i$ 满足 $b_i \ge 1$。

5. 设 $a_1, a_2, \dots, a_{2024}$ 是一些正实数，现在递归构造 $a_{2025}, a_{2026}, a_{2027}, \dots$ 如下：对 $n \ge 2025$，

$$a_n = \max \{ a_i a_j a_k : i + j + k = n, 1 \le i \le j \le k \le n-1 \}$$

证明：存在正整数 $m \le 2024$ 和 $N > 4m$ 满足，$a_n a_{n-4m} = a_{n-2m}^2$ 对任意 $n > N$ 成立。

6. 非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ 满足 $a_1 + a_2 + \dots + a_{2023} < 101$。设

$$S = \{ (i, j) \mid 1 \le i \le j \le 2023, a_i a_j \ge 1 \}$$

求 $|S|$ 的最大可能值。

7. 设 $n \ge 2$，$P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 是一个实系数多项式。证明：如果对某个正整数 $k$，有 $(x-1)^{k+1} \mid P(x)$，则

$$\sum_{i=0}^{n-1} |a_i| > 1 + \frac{2k^2}{n}$$