1. 设 $n$ 是一个不小于 $3$ 的整数，圆周上排列着 $n$ 个正整数，考虑每一个数旁边两个数之和除以该数的商。证明：若所有的商都是正整数，则所有的商之和不小于 $2n$，不大于 $3n$。

注：该范围内的所有正整数均可取到。

2. 求所有满足下面条件的实数对 $(c,d)$：存在正实数数列 $\{a_n\}$，使得

$$a_n \ge c \cdot a_{n+1} + d \sum_{j=1}^{n-1} a_j$$

对任意 $n \ge 2$ 成立。

3. 设 $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < \dots$ 是无穷数列，且每一项都在开区间 $(0,1)$ 内. 证明：存在一个实数，它在数列

$$\frac{a_1}{1}, \frac{a_2}{2}, \frac{a_3}{3}, \frac{a_4}{4}, \dots$$

中恰出现了 $1$ 次。

4. 给定正整数 $n$，对任意实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$，定义 $F(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 为 $f(x) = \sum_{i=1}^n |\sin(x - x_i)|$ 的最小值。对所有实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$，求 $F(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 的最大可能值。

5. 平面直角坐标系中，一个有限点集 $S$ 称为“可测的”，如果存在一个不超过 $|S| - 2$ 的多项式 $y = P(x)$，其图像经过 $S$ 中每个点（故必须有 $|S| \ge 2$）。 设 $n$ 个点构成的集合 $A$ 不是“可测的”，且 $A$ 中任意两点的横坐标不同。请问，$A$ 最多有多少个子集是“可测的”？证明你的结论。

6. 求满足下面条件的最大实数 $a$：若 $f(x)$ 是一个关于 $x$ 的系数非负的三次三项式，且满足 $f(1) = 1$，则关于 $x$ 的多项式 $g(x) = (f(x))^2$ 一定有一项的系数不小于 $a$。

7 设实数 $x, y, z, t, u$ 满足 $x, y, z \ge 0$，$t, u \ge 1$，求证：

$$(x-y)(x-t)(x-u)(x-z) + (y-t)(y-z)(y-u)(y-x) + (z-t)(z-y)(z-x)(z-u) \ge 0$$