可能对于屏幕前的您来说比较简单了，如果是，你可以尽情嘲讽。

$\textbf{Problem 1. }$已知 $a,b>0,a^2+b^2=1$，求 $\min \dfrac{1}{a}+\dfrac{8}{b}$。

来源

$\textbf{Solution 1. (Anomynous)}$ 首先人类智慧猜出答案和取等条件，然后对着用的不等式的取等条件凑即可。

$$\begin{array}{ll} \dfrac1a+\dfrac8b&=\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac2b+\dfrac2b+\dfrac2b\\ &\ge10\sqrt[10]{\dfrac{1}{4a^2b^8}}\\ &\ge10\sqrt[10]{\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^5(4a^2+b^2+b^2+b^2+b^2)^5}}\\ &=10\left(\dfrac54\right)^{0.5}\\ &=5\sqrt5 \end{array} $$

在 $a=\dfrac{1}{5}\sqrt5,b=\dfrac{2}{5}\sqrt5$ 的时候取等。

$\textbf{Solution 2. (jerry090811\text{改})}$ 令 $x=\dfrac{a}{b}$，有 $(\dfrac1a+\dfrac8b)^2(a^2+b^2)=64x^{2}+16x+65+16x^{-1}+x^{-2}$，求导得 $x>0$ 时在 $x=0.5$ 处取到极小值，即最小值。故 $(\dfrac1a+\dfrac8b)^2(a^2+b^2)\ge125$，即 $\dfrac1a+\dfrac8b\ge5\sqrt5$。

$\textbf{Solution 3. (欢黎明陌)}$ 令 $a=\sin x$，$b=\cos x$，$\dfrac1a+\dfrac8b$ 的导数为 $-\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}+\dfrac{8\sin x}{\cos^{2}x}$，令其为 $0$ 有 $(2\sin x)^3=\cos x$ 即 $a=\dfrac{1}{5}\sqrt5,b=\dfrac25\sqrt5$。

$\textbf{Problem 2. }$ 令 $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac18}-\dfrac18\sqrt2$，求 $a^2+\sqrt{a^4+a+1}$。

来源：$\text{OIer's Chat}$ 的 $\textsf{@toaru}$。

$\textbf{Solution 1. (Anomynous)}$

$$\begin{array}{l}a=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac18}-\dfrac18\sqrt2\\ 8a=\sqrt{16\sqrt2+2}-\sqrt{2}\\ (8a+\sqrt2)^2=16\sqrt2+2\\ 64a^2+16\sqrt2a-16\sqrt2=0\\ 2\sqrt2a^2+a-1=0\end{array} $$

于是

$$\begin{array}{ll}a^2+\sqrt{(a^2)^2+a+1}&=a^2+\sqrt{\dfrac18(1-a)^2+a+1}\\ &=a^2+\dfrac{\sqrt2}{4}\sqrt{a^2+6a+9}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{4}(1-a)+\dfrac{\sqrt2}{4}(a+3)\\ &=\sqrt2\end{array} $$

$\textbf{Problem 3.}$ 求证：若 $a,b\in [-1,1],a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1$，则 $a^2+b^2=1$。

来源：$\text{OIer's Chat}$ 的 $\textsf{@toaru}$。

$\textbf{Solution 1. (sszcdjr)}$ 令 $a=\sin\alpha$，$b=\sin\beta$，合适选取 $\alpha,\beta$ 则 $\sin(\alpha+\beta)=1$，即 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$，即 $\sin\alpha=\cos\beta$，即证。

$\textbf{Solution 2. (calabash\_love\_hmz)}$ 暴力推式子，即证。

$\textbf{Solution 3. (Anomynous)}$ 考虑证明 $\forall x,y\in \mathbf{R},LHS\le 1$。不妨设 $x,y\ge 0$，令 $F(x)=\sqrt{1-x^2}$，则 $LHS^2\le (x^2+y^2)(F(y)^2+F(x)^2)\textbf{(Cauchy)}\le1\textbf{(AM-GM)}$。最后一个不等式取等条件是 $x^2+y^2=1$。即证。

$\textbf{Problem 4.}$

来源

求证：若集合 $S$（$\subseteq \mathbb C$） 满足：

• $0,1\in S$
• 如果 $x,y\in S$，$x-y\in S$。
• 如果 $x\in S$，$x\neq 0$，则 $\dfrac1x\in S$。

（这里是通常的加减乘除）

则 $S$ 是（$\mathbb C$ 上的）数域。

$\textbf{Solution 1. (Anomynous)}$：若 $x,y\in S$。

$x+y=x-(0-y)\in S$。

$x^2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}}-x\in S(x\neq 0,-1)$。

$x^2=0,1(x=0,-1)\in S$

$xy=\dfrac{1}{2}[(x+y)^2-x^2-y^2]\in S$。

一点细节：$\dfrac12x=\dfrac{1}{\dfrac1x+\dfrac1x}$。

$\dfrac xy=x\cdot \dfrac1y\in S$。$\square$

（$\textbf{Homework 4.1 CF1060H Sophisticated Device}$）

$\textbf{Problem 5.}$ 有 $X$ 上的二元运算 $*$，满足：

• $\forall x,y\in X,x*y\in X$。
• $\forall x,y\in X,x=y*(y*x)=(x*y)*y=x$。

证明 $\forall x,y\in X,x*y=y*x$。

来源

$\textbf{Solution 1. (Anomynous)}$ $\textit{\textbf {x}}*\textit{\textbf {y}}=((\textit{\textbf {x}}*\textit{\textbf {y}})*\underline{x})*x=((\textit{\textbf {x}}*\textit{\textbf {y}})*\underline{(\textit{\textbf {x}}*\textit{\textbf {y}})*y})*x=y*x$。

$\textbf{Problem 6.}$ 定义 $x*y=\dfrac{x+y}{xy+1}$，试证明 $*$ 有结合律。

$\textbf{Solution 1.}$ 爆算。

$\textbf{Solution 2.(Anomynous \& zhuzhu2891) }$ 设 $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$，则 $f(x*y)=f(x)f(y)$。（特殊情况使用连续性解决）$\square$

$\textbf{Problem 7.}$

你有三个非负整数 $x,a,b$。你可以对 $x$ 进行任意次（包括 $0$ 次）如下操作：

• 将 $x$ 变为 $ax - b$。

你需要求出迭代 $n$ 次之后的结果。

$\textbf{Solution}$

我们考虑每一次迭代的时候比变化的值是多少，第 $i$ 次变化的值记作 $d_i$：

第一次迭代：

$x \rightarrow ax - b$

$d_1 = x - (ax - b) = b - ax + x$

第二次迭代

$ax - b \rightarrow a(ax - b) - b = a^2x - ab - b$

$d_2 = (ax - b) - (a^2x- ab-b) = ax - b - a^2x + ab + b = ax - a^2x + ab = a(b - ax + x)$

第三次迭代：

$a^2x-ab-b\rightarrow a(a^2x-ab-b)-b=a^3x-a^2b-ab-b$

$d_3 = (a^2x-ab-b)-(a^3x-a^2b-ab-b) = a^2x-ab-b-a^3x+a^2b+ab+b=a^2x-a^3x+a^2b=a^2(b-ax+x)$

$\cdots$

我们不难猜想第 $i$ 次迭代后变化的值应该是 $d_i=a^{i -1}(b-ax+x)$。

---

下面证明这个结论：

假设第 $i$ 个值为 $t_i$，令 $t_1 = x$。

则第 $i + 1$ 个值为 $t_{i +1} = at_i-b$。

令 $t_{i - 1} = w$

那么 $d_i = t_{i +1} - t_i = at_i-b-t_i=(a-1)t_i-b = (a-1)(at_{i-1}-b)-b=(a-1)(aw-b)-b=a^2w-ab-aw=a(aw-b-w)$

又 $\because d_{i - 1} = t_i - t_{i - 1} = at_{i-1}-b-t_{i-1}=aw-b-w$

$\therefore \dfrac{d_i}{d_{i-1}}=\dfrac{a(aw-b-w)}{aw-b-w}=a$

$\therefore d_i = ad_{i - 1} = a^2d_{i-2} = \cdots = a^{i - 1}d_1 = a^{i-1}(b-ax+x)$

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不妨令 $l = b-ax+x$。

那么知道了 $d_i$，答案就是：

$$x-(\sum\limits^n_{i=1}d_i)=x-(\sum\limits^n_{i=1} a^{i-1}l)=x-(l\times \sum\limits^n_{i=1} a^{i-1})=x-\dfrac{l(a^n-1)}{a-1} $$

$\textbf{Problem 8.}$

已知 $x,y$ 满足 $x^2+xy+y^2=0$，求下面算式的结果：

$$(\dfrac{x}{x+y})^{2010}+(\dfrac{y}{x+y})^{2010}$$

$\textbf{Solution}$

将 $x^2+xy+y^2$ 乘上 $x-y$ ，能得到：$(x^2+xy+y^2)(x-y)=x^3-y^3=0$。所以 $x^3=y^3$。

又因为 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=xy$，所以原式可以转化为：

$$\dfrac{x^{2010}+y^{2010}}{x^{2010}y^{2010}}=2$$