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0 前言

牛顿力学在解决一些问题时需要繁琐地考虑约束力的问题，有时候一道简单的静力学题目也要数十个方程，这种情况下牛顿力学显然不是一种简便快捷的方法。

而分析力学的优势在于不用考虑约束力，利用虚功原理或拉格朗日方程能大大简化问题的模型；缺点是面对对有能量损耗（如摩擦力）的系统时很难发挥作用。

想用好虚功原理或拉格朗日方程解决问题，关键在于找到合适的题目。

1 虚功原理

1.1 虚功原理的推导

对于一个受力平衡的质点，有 $F+R=0$，其中 $F$ 为主动力，$R$ 为约束力。

设质点移动了一个虚位移 $\delta x$，则做的虚功也应为 0，即 $(F+R)\delta x=0$，由于约束力不做功，则 $F\delta x=0$

对于一个有 $n$ 个质点的质点组，则是 $\displaystyle\sum_i F_i\delta x_i=0$

可以用广义坐标来描述质点组的运动，即 $x_i=x_i(q_1,q_2,...,q_k,t)$，根据全微分可以写出 $\displaystyle\delta x_i=\sum_\alpha\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha+\dfrac{\partial x_i}{\partial t}\delta t$

因为时间的虚位移为 $0$，于是最后一项可以舍去，我们可以把原方程改写为

$$\sum_i F_i\left(\sum_\alpha\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\right)=0 $$

由于求和可以交换顺序，于是

$$\sum_\alpha\left(\sum_i F_i\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha=0 $$

又因为 $q_\alpha$ 之间互不影响，可以得出

$$\sum_i F_i\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}=0 $$

在保守系下 $F_i=-\dfrac{\partial V_i}{\partial x_i}$，于是上式又可以写成

$$\sum_i\dfrac{\partial V_i}{\partial x_i}\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}=\sum_i\dfrac{\partial V_i}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha}=0 $$

1.2 虚功原理例题

2 拉格朗日方程

2.1 拉格朗日方程推导

同虚功原理，对于质点系，有 $F_i+R_i=ma_i$，即

$$\sum_i(F_i+R_i)\delta x_i=\sum_iF_i\delta x_i=\sum_im_ia_i\delta x_i=\sum_im_i\ddot{x_i}\delta x_i $$

由全微分以及微分公式 $u\mathrm{d}v=\mathrm{d}(uv)-v\mathrm{d}u$ 进行变换（式中 $V$ 为势能，$T$ 为动能）：

$$\begin{split} \mathrm{LHS}&=\sum_\alpha\sum_i\left(F_i\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\sum_i\left[\left(-\dfrac{\partial V_i}{\partial x_i}\right)\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\right]\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\left[\sum_i\left(-\dfrac{\partial V_i}{\partial q_\alpha}\right)\right]\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\left(-\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha \end{split} $$$$\begin{split} \mathrm{RHS}&=\sum_\alpha\sum_i\left(m_i\ddot{x_i}\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\sum_i\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_i\dot{x_i}\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}\right)-m_i\dot{x_i}\dfrac{\partial \dot{x_i}}{\partial q_\alpha}\right]\delta q_\alpha \end{split} $$

因为 $\dfrac{\partial x_i}{\partial q_\alpha}=\dfrac{\partial \dot{x_i}}{\partial \dot{q_\alpha}}$ 和 $m_i\dot{x_i}\mathrm{d}\dot{x_i}=\mathrm{d}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2\right)=\mathrm{d}T_i$，我们有

$$\begin{split} \mathrm{RHS}&=\sum_\alpha\sum_i\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{m_i\dot{x_i}\partial\dot{x_i}}{\partial \dot{q_\alpha}}\right)-\dfrac{m_i\dot{x_i}\partial\dot{x_i}}{\partial q_\alpha}\right]\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\left[\sum_i\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial T_i}{\partial \dot{q_\alpha}}-\dfrac{\partial T_i}{\partial q_\alpha}\right)\right]\delta q_\alpha\\ &=\sum_\alpha\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q_\alpha}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha \end{split} $$

所以

$$\sum_\alpha\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q_\alpha}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha=\sum_\alpha\left(-\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha}\right)\delta q_\alpha $$$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q_\alpha}}-\dfrac{\partial T}{\partial q_\alpha}=-\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha} $$

拉格朗日定义了拉格朗日量 $L=T-V$ ，由于 $\dfrac{\partial V}{\partial \dot{q_\alpha}}=0$，所以上式又可以改写为

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_\alpha}}-\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0 $$

这是拉格朗日方程最广为人知的形式。

2.2 拉格朗日方程的几个实例

e.g.1 重力场中质点的运动

e.g.2 天体运动在不同坐标系下的表达

2.3 拉格朗日方程例题

2.4* 绕过拉格朗日方程解决问题的方法