题目

第 1 题

已知一个正整数无穷序列 $a_n$，满足 $\forall n, m\in \Z^+$，有 $a_n + a_m$ 被 $a_{n+m}$ 整除。证：$a$ 为周期序列。

第 2 题

(1)

已知 $a, b, c, d\in \mathbb{C}, f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$，满足：

1. $f(x)$ 将单位圆 $\{x| |x|=1\}$ 映射到该单位圆上。
2. $|f(0)| \gt 1$。

问：$f(x)$ 是否存在？

(2)

证明下列方程的解一定在单位圆 $\{x| |x|=1\}$ 上：

$$(b+z)^2 + iz^3(bz+1)^2 = 0$$

第 3 题

(1)

已知实系数多项式 $f(x)$ 有实根，且对于任意正实数 $\varepsilon$，$f(x) + \varepsilon$ 无实根。证明：$f(x)$ 的所有实根的重数为偶数。

(2)

已知 $f(x)$ 为自然数到自然数的单射（p.s. lxw 说不用单射 +20pts），使得若 $\sum_{i=0}^n a_ix^i$ 有根，则 $\sum_{i=0}^n a_ix^{f(i)}$ 有根，并且若 $\sum_{i=0}^n a_ix^{f(i)}$ 有根，则 $\sum_{i=0}^n a_ix^i$ 有根。

求所有满足要求的 $f$。

第 4 题

(1)

已知 $z_1, z_2, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ 且模长均 $\le 1$。令 $f(z_1, z_2, \dots, z_n) = \frac{1 - \prod_{i=1}^n z_i}{n-\sum_{i=1}^n z_i}$。令 $f$ 模长最大值为 $M$。

证：当 $z$ 模长全为一时 $f$ 的模长取到 $M$。

(2)

证：

$$|1 - \prod_{i=1}^n z_i| \le |n-\sum_{i=1}^n z_i|$$

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题目

第 1 题

假设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，内心为 $I$，$BC$ 中点 为 $M$，$MH \perp AI$ 交 $AI$ 于 $H$，$MH$ 交 $AB, AC, BI, CI$ 于 $D, E, F, G$，$DFB$ 外接圆交 $\odot O$ 于 $B, B'$，$CEG$ 外接圆交 $\odot O$ 于 $C, C'$。

证：$B'HC'$ 共线。

第 2 题

求所有的正整数 $a, b$，使得 $ab - 1 | a^2 + b^2 + 1$。

第 3 题

已知实数数列 $a_1, \dots, a_n$，满足

$$\begin{cases} \sum_{i=1}^n a_i = 0\\ 2a_k \le a_{k - 1} + a_{k + 1} \end{cases} $$

证：$|a_k| \le \frac{n+1}{n-1}\max\{|a_1|, |a_n|\}$。

第 4 题

求所有的正整数 $n$，使得存在 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的一个排列 $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$，使得 $b_k = \prod_{i = 1}^ka_i$ 在模 $n$ 意义下构成完系。

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题目

第 1 题

已知在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$I_A, I_B, I_C, I_D$ 分别为 $\triangle ABD, \triangle ABC, \triangle BCD, \triangle ACD$ 的内接园园心。令 $\odot I_A, I_B$ 的外公切线为 $AB$ 和 $l_{AB}$，$I_B, I_C$ 的外公切线为 $BC$ 和 $l_{BC}$，$I_C, I_D$ 的外公切线为 $BD$ 和 $l_{CD}$，$I_D, I_A$ 的外公切线为 $AD$ 和 $l_{AD}$。令 $l_{AB}$ 与 $l_{AD}$ 交于 $A'$，$l_{BC}$ 与 $l_{CD}$ 交于 $C'$。

证：$AA' \parallel CC'$。

第 2 题

已知 $a$ 为有界无穷单调递增序列，满足 $1 = a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots$。

(1)

是否存在 $a$，使得对于每一个奇数 $j$，都存在一个 $k$，使得 $\frac{a_j}{j} \le \frac{a_k}{k}$？

(2)

是否存在 $a$，使得对于每一个完全平方数 $j$，都存在一个 $k$，使得 $\frac{a_j}{j} \le \frac{a_k}{k}$？

第 3 题

求所有的 $n\ge 2$，使得存在值域在 $[1, n]$ 的正整数数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，满足 $\sum_{i=1}^na_i \not\equiv 0 \pmod n$，并且对于任意 $1 \le j \le n$，以下 $n - 1$ 个数至少有一个是 $n$ 的倍数：

$$a_j, a_j + a_{j + 1}, \dots, a_j + a_{j + 1} + \dots + a_{j + n - 2} $$

其中 $a_{i + n} = i, i \in \mathbb{Z}$。

第 4 题

已知 $f: \mathbb{Z}* \to \mathbb{Z}*$，且对于任意正整数 $n, m$，以下 $f(n)$ 个数中有且仅有一个数是 $n$ 的倍数：

$$f(m + 1), f(m + 2), \dots, f(m + f(n))$$

证明：$f(f(n)) = n, n \in \mathbb{Z}$。

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题目

第 1 题

设锐角 $\triangle ABC$ 外接圆为 $\odot O$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，$H$ 为 $\triangle ABC$ 垂心。$AP$ 交 $\odot O$ 于 $A'$，$BP$ 交 $\odot O$ 于 $B'$，$CP$ 交 $\odot O$ 于 $C'$。作 $PD \perp BC$ 于 $D$，$PE \perp AC$ 于 $E$，$PF \perp AB$ 于 $F$。设 $A', B', C'$ 关于 $D, E, F$ 的对称点分别为 $A_2, B_2, C_2$。

证：$A_2, B_2, C_2, H$ 四点共圆。

第 2 题

已知 $\set{a_n}, \set{b_n}$ 均为正整数等差数列，且存在无限组 $(i, j), i \le j \le i + 2024$，满足 $a_i \mid b_j$。

证：$\forall i \in \N^*, \exists j \in \N^*, a_i \mid b_j$。

第 3 题

已知 $\set{a_i} (1 \le i \le n)$ 是 $\set{1, 2, \dots, n}$ 的一个排列。求：

$$\sum_{i=1}^n|a_i - a_{i + 1} + a_{i + 2} - a_{i + 3}| $$

的最大值，其中 $a_{n + i} = a_i$。

第 4 题

求出所有的正整数 $n$，使得可以将 $1, 2, \dots, n^2$ 填入 $n \times n$ 的表格中，满足每一行，每一列的平均数均为偶数。

此题答案：$n \not= 2$