命题人：glkbq，a3gg, wjh

总时长 259200 秒

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Day 1

1. 证明：对 $n\in N^+,n\geq2$，有

$$(n!)^{\frac{2}{n}}>((n+1)!)^{\frac{1}{n+1}}\cdot((n-1)!)^{\frac{1}{n-1}} $$

3. 设三角形 $ABC$ 外接圆为圆 $\Omega$，$B,C$ 处切线交于 $D$，连接 $AD$ 交圆 $\Omega$ 于 $E$，过 $A$ 作 $AD$ 垂线交 $BC$ 于 $F$，连接 $FD$ 交以 $D$ 为圆心，$DC$ 为半径的圆于点 $G$。证明：$C,E,G$ 共线。
4. 对于集合 $S\subseteq \Z^+$，我们称其为“好的”，当且仅当 $\forall x,y\in S,x\neq y:x+y\notin S$。求证：正整数集 $\Z^+=\{1,2,\dots\}$ 不存在一个有限划分 $A_1,A_2,\dots,A_n$，使得 $A_i(i=1,2,\dots,n)$ 都是好的（注：一个有限划分是指，$A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n=\Z^+$，且对于所有 $1\le i\le j\le n,A_i\cap A_j=\varnothing$）。
5. $g(x)\in \R[x]$，满足：存在 $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{Q}^+$，对任意 $x,y\in \Z^+$，有 $g(x^ay^b-1)+g(x^c+x^d)-g(x^e)g(x^f)$ 为质数，求 $g(x)$。

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Day 2

5. 设 $a_1,a_2,\dots,a_n\ge0$，$\displaystyle\sum_{j=1}^na_j=n$，求

$$f=(a_1^2+a_2^2)(a_2^2+a_3^2)\dots(a_{n-1}^2+a_n^2)(a_n^2+a_1^2) $$

的最大值。

7. 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\Omega_1$，$M$ 为线段 $BC$ 中点，$N$ 为不包含 $A$ 的弧 $BC$ 中点，$J$ 为 $\triangle ABC$ 位于 $\angle B$ 内的旁心。设 $M,N,J$ 在圆 $\Omega_2$ 上，且 $\Omega_1,\Omega_2$ 交于 $P(P\neq N)$，直线 $AP$ 交 $\Omega_2$ 于 $D$。证明：$DJ=JM$。
8. 设正实数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=1$，设

$$S=\displaystyle\sum_{j=1}^n\frac{1}{x_1+_2+\dots+x_j} $$

证明：

$$ S<\sqrt{(\frac{2n}{x_1^2}-\frac{2}{n+1})+n(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k}{(x_1+x_2+\dots+x_k)^2})} $$

10. 设 $A$ 是平面上一个面积为 $1$ 的凸多边形，求证：存在一点 $B$，使得 $A$ 关于 $B$ 的对称图形 $A'$ 与 $A$ 的重叠部分面积不小于 $\frac{1}{2}$（注：如果将 $\frac{1}{2}$ 换为更小的数并证明结论，可以得到部分分数，具体而言，这个数每减少 $\frac{1}{60}$ 少得 $3$ 分）。

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Day 3

9. 设 $\triangle ABC$ 内心为 $I$，内切圆与三边切于 $X,Y,Z$，将过 $B,C$ 两点且与 $\odot I$ 内切的圆记为 $w_1$，同理定义 $w_2,w_3$，设 $w_1,w_2,w_3$ 分别与 $\odot I$ 切于 $D,E,F$，设 $w_2$ 交 $AB$ 于 $G$，$w_3$ 交 $AC$ 于 $H$。证明：$\frac{ZG}{YH}=\frac{BG}{CH}$。
10. 给定大于 $1$ 的数 $n$，$A={1,2,\dots,n}$。对可重正整数集合 $P,Q$，定义

$$f(P,Q)=\displaystyle\sum_{x\in P}\frac{1}{x}-\sum_{x\in Q}\frac{1}{x} $$

对任意 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$，可重集 $S=\{\displaystyle\prod_{j=1}^k\frac{1}{a_{i_j}}\ |\ k\in A,1\le a_{i_1}< a_{i_2}< a_{i_3}<\dots<a_{i_k}\le n\}$。求正整数 $m$ 的所有取值，使 $S$ 可划分为两个子集 $S_1,S_2$，其中 $|S_1|=m$，分别满足：

$$(i)\ f(S_1,S_2)\le 2m+1-2^n \\ (ii)\ f(S_1,S_2) \ge \frac{(2m+1-2^n)n}{(2^n-1)(\displaystyle\sum_{j=1}^na_j)} $$

12. $ABCD$ 是等腰梯形，$AD\ \|\ BC$ 且小于 $BC$，$AE$ 垂直于 $BC$ 于 $E$。$DF$ 垂直于 $BC$ 于 $F$。$P,Q$ 在梯形内部满足三角形 $PBC$ 的内心在 $AE$ 上，三角形 $QBC$ 的内心在 $DF$ 上。设三角形 $PQE$ 的垂心为 $H$，若 $BC=\sqrt{2}AD$，求证：$HC=HB+AD$。
13. 对质数 $p$ 和 $F(x)\in \Z[x]$，记 $S_p(F)$ 为集合 $\{p\{\frac{F(i)}{p}\}\ |\ i\in\Z\}$ 中不同元素的个数。求所有的实数 $\lambda$，使得不存在 $F(x)=x^3+ax^2+bx+c\in\Z[x]$，满足 $2a>3b+1$，且存在 $|a|+|b|+1$ 个质数 $p$ 使

$$|S_p(F)-\lambda p|\ge2.$$