T1

设锐角 $\triangle ABC$ 外接圆为 $\odot O$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，$H$ 为 $\triangle ABC$ 垂心。$AP$ 交 $\odot O$ 于 $A_1$，$BP$ 交 $\odot O$ 于 $B_1$，$CP$ 交 $\odot O$ 于 $C_1$。作 $PD \perp BC$ 于 $D$，$PE \perp AC$ 于 $E$，$PF \perp AB$ 于 $F$。设 $A_1, B_1, C_1$ 关于 $D, E, F$ 的对称点分别为 $A_2, B_2, C_2$。

证：$A_2, B_2, C_2, H$ 四点共圆。

T2

已知 $\set{a_n}, \set{b_n}$ 均为正整数等差数列，且存在无限组 $(i, j), i \le j \le i + 2024$，满足 $a_i \mid b_j$。

证：$\forall i \in \N^*, \exists j \in \N^*, a_i \mid b_j$。

记 $a_i\mid b_{f(i)}, g(i)=f(i)-i$，则 $g(i)\in\set{0, 1, \cdots, 2024}$。

由抽屉原理，$\exists d\in\set{0, 1, \cdots, 2024}: \exists\infty\ i: g(i)=d$，即 $a_i\mid b_{i+d}$。

设 $a_i=li+s,b_i=ki+t$，则 $\exists d\in\set{0, 1, \cdots, 2024}: \exists\infty\ i: (li+s)\mid(ki+kd+t)$，从而 $(li+s)\mid(kli+kld+tl-kli-ks)$，$(li+s)\mid(kld+tl-ks)$。

由于有无数多个整数整除一个整数，故后者为 $0$，即 $kld+tl-ks=0$

T3

已知 $\set{a_i} (1 \le i \le n)$ 是 $\set{1, 2, \cdots, n}$ 的一个排列。求：

$$\sum_{i=1}^n|a_i - a_{i + 1} + a_{i + 2} - a_{i + 3}| $$

的最大值，其中 $a_{n + i} = a_i$。

T4

求出所有的正整数 $n$，使得可以将 $1, 2, \cdots, n^2$ 填入 $n \times n$ 的表格中，满足每一行，每一列的算术平均数均为整数。