记号

$i$ 表示虚数单位，不加说明的情况下，$x$ 表示实数，$z$ 表示复数，$n$ 表示正整数，$p$ 表示质数。

$\omega_n=e^{\frac{2\pi}{n}i}$ 为 $n$ 次单位根。

$\Phi_n(z)$ 为分圆多项式。

前置知识

$\cos \dfrac{2\pi}{n}=\dfrac{\omega_n+\omega_n^{-1}}{2}$。

$\sin \dfrac{2\pi}{n}=\dfrac{\omega_n-\omega_n^{-1}}{2i}$。

$\tan \dfrac{2\pi}{n}=\dfrac{\omega_n-\omega_n^{-1}}{i(\omega_n+\omega_n^{-1})}$。

方法

取三角函数中所有变量的最大公因数 $\dfrac{2\pi}{n}$（如果是 $\dfrac{\pi}{n}$，变为 $\dfrac{2\pi}{2n}$），用 $\omega_n$ 表示所有三角函数值，利用 $\Phi_n(\omega_n)=0$ 做代数变换（建议先通分母）

有时也要考虑把 $i$ 变成 $\omega_n$，这就需要 $4\mid n$，可以强行取 $n\gets 4n$。

例题