已知 $x,y,z$ 为整数，求证：

$$1<\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}<2 $$

证：

先看 $1 < \sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}$ ：

原式 $\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y + \sqrt z)^2}{\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}}$，则只需证 $(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2>\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}$ 即可。

${\Leftrightarrow y+2\sqrt{xy} > \sqrt{y(2x+y)}}$

两边平方 $\Leftrightarrow y^2+4y\sqrt{xy}+4zy>y(2x+y)$

$\Leftrightarrow RHS-LHS=2xy+4y\sqrt{xy}>0$

$\therefore y+2\sqrt{xy} > \sqrt{y(2x+y)}$ 成立，同理 $z+2\sqrt{yz} > \sqrt{z(2y+z)}, x+2\sqrt{xz} > \sqrt{x(2z+yx}$

三式相加，$(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2>\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}$ 得证。

$\therefore \sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y + \sqrt z)^2}{\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}}>1$

再看 $\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}} < 2$ ：

$\sum\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}=\sum\sqrt{\dfrac{1}{2\frac{x}{y}+1}}$，令 $(\dfrac xy,\dfrac yz,\dfrac zx)\rightarrow(a,b,c)$

$\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac{1}{2a+1}}<2,abc=1$，令 $(a,b,c)\rightarrow(e^s,e^t,e^u)$。

$\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac 1{2e^s+1}}<2,s+t+u=0$，令 $g(x)=\sqrt {\dfrac {1}{2e^x+1}}$，易知 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减。

现在分 $2$ 种情况讨论。

$1^{\circ} s\le t\le 0\le u$

则 $g(x)$ 在 $x < 0$ 上凸。

$\Rightarrow g(s)+g(t)\le 2g(\dfrac{s+t}2)$，令 $h(x)=2g(\dfrac x2)+g(-x)=2\sqrt{\dfrac{1}{2e^{\frac{x}{2}}+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x}+1}}$。

$h'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(2e^{-x}+1)^{\frac 32}}-\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{(2e^{\frac x2}+1)^{\frac 32}}$，令 $f(x)=\dfrac{e^x}{(2e^{x}+1)^{\frac 32}}$，则 $h'(x)=f(-x)-f(\dfrac x2)$。

易知 当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(-x)$。

若 $x < 0,\Leftrightarrow \dfrac{f(-x)}{f(\frac x2)} \le \dfrac{f(-x)}{f(x)}$，又 $\because f(-x) > f(x),\therefore \dfrac{f(-x)}{f(\frac x2)} < 1$，即 $h'(x)=f(-x)-f(\frac x2) < 0$。

若 $x > 0,h'(x)=f(-x)-f(\dfrac x2) < f(-\dfrac x2) - f(\dfrac x2) < 0$。

综上，$h'(x) < 0$。

所以 $h(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减。

在 $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1}$ 中，$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} e^{\frac x2} = 0$

$\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1} = 1,\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 2\sqrt{\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1}}=2$。

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{-x}+1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^x}{2+e^x}=\dfrac{0}{0+2}=0$

$\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x}+1}}=0$

$\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}h(x)=2+0=2$

$\therefore \sum\limits_{cyc} g(s)\le h(x) < 2$

$2^{\circ} s \le 0 \le t \le u$

则 $g(t) + g(u) = g(t) + g(-s-t)$。

$\Rightarrow g(s)+g(t)+g(u)$

$=g(s)+g(t)+g(-s-t)$

$<g(s)+g(0)+g(-s)$

$=\sqrt{\dfrac 13}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x} + 1}}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{x} + 1}} < 2$

所以 $\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}} < 2$ 成立。

综上所述，

$$1<\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}<2 $$